물리학 (38) 썸네일형 리스트형 [고전역학 문제 풀이] 원형 빗면(콘, 깔때기)에서 구르는 입자의 운동 고전역학에서는 꼭 배워야 하는 혹은 풀이법을 알아야 하는 문제(주제)들이 있는데, 그 중에서 하나는 이번 포스팅에서 알아 볼 원형 빗면에서 구르는 입자의 운동에 대한 문제 입니다. 위 그림과 같이 속이 비었고, 원형 바닥이 빈 원뿔을 뒤집어 놓는 구조에서 구슬을 빗면을 따라 굴리는 현상을 기술하는 문제 입니다. 일상생활에서도 이런 현상을 가끔씩 접할 수 있는데, 위 그림과 같은 원뿔이 아니라도 바구니나 그릇안에 담겨 있는 구슬을 손가락으로 강하게 쳐서 구슬이 속도를 갖게 하면, 구슬은 그릇 안을 빙글 빙글 돌게 됩니다. 구슬의 초기 속도가 매우 크다면, 구슬은 그릇면의 높은 곳 까지 올라가서 빠르게 원운동을 할 것이며, 약하게 굴리면 구슬은 타원형 비슷한 궤도를 그리며 구슬의 제일 낮은 점 근처를 배회할.. [양자역학 문제 풀이]1차원 디랙 델타 포텐셜이 나오는 문제 (서울대 대학원 입학시험) 양자역학을 공부하다 보면 디랙 델타 함수Dirac delta function에 대해 접하게 됩니다. 디랙 델타 함수는 $$\begin{equation} \delta(x)=\begin{cases} 0, &x \ne 0 \\ \infty, &x=0 \end{cases} \end{equation}$$ 이면서, $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1$$ 를 만족시키는 함수로 정의 됩니다. (보다 정확히는 위와 같이 정의되는 것은 아니고, 위와 같은 성질을 갖는 "분포" 라고 하는 것이 더 옳습니다. 그러나, 이 포스팅은 델타 함수에 대한 수학적인 논의를 하는 것이 목적이 아니고, 델타 함수를 이용하여 모델링하는 물리문제를 다루는 것이 목적이기 때문에 그냥 위 식을 델타 함수.. 양자역학 무한 포텐셜 우물 문제(infinite potential well)를 행렬역학의 방법으로 풀기 지난 몇 번의 포스팅을 통해서 초기 양자역학의 발전 과정을 간략히나마 살펴보았습니다. 그 중에서 하이젠베르크-보른-요르당에 의해서 정립된 행렬역학은 최초의 "현대적인" 양자역학의 방법론으로, 이를 통해서 단조화진동자, 수소원자의 에너지 준위를 계산할 수 있었습니다. 거의 비슷한 시기에 에르빈 슈뢰딩거는 편미분방정식이라는 하이젠베르크-보른-요르당과는 전혀 다른 방법으로 양자역학 세계를 기술하였고, 슈뢰딩거 역시 그의 방정식을 통해서 단조화진동자, 수소원자의 에너지 준위과 같은 개념적으로도, 현실적으로도 매우 중요한 문제를 풀었습니다. 행렬역학과 파동역학, 두 방법 중 현대에는 거의 대부분의, 아니 모든, 경우에 파동역학의 방법으로 양자역학 문제를 풉니다. 즉, 특정한 퍼텐셜 하에 입자의 에너지 준위나 그와.. 행렬역학과 파동역학이 동치임을 밝힌 슈뢰딩거 최근에 양자역학의 초기 역사와 관련된 논문을 하나씩 읽어보고, 이번 포스팅에서는 행렬력학과 파동역학이 수학적으로 동등함을 밝힌 에르빈 슈뢰딩거의 1926년 논문을 살펴보도록 하겠습니다. Annalen der Physics (4), vol. 79, 1926에 출판된 논문입니다. 역시나 영문번역본을 이용하도록 하겠습니다. 논문이 내용을 보기 전에, 슈뢰딩거가 이 논문을 쓰기 이전의 간략한 역사와 이 논문을 쓰게 된 이유에 대해서 이해를 해 보도록 하겠습니다. 1925년 베르너 하이젠베르크는 위치를 "인덱스가 2개인 수학적인 양"으로 정의하고, 이 인덱스가 2개인 수학적인 양이 만족시켜야 하는 조건, 즉 양자화 조건, 을 유도하였습니다. 2달 후, 막스 보른과 파스쿠알 요르당은 하이젠베르크의 논문에서 도입된 .. 수소 원자의 선 스펙트럼 문제를 행렬 역학의 방법으로 풀어낸 볼프강 파울리 베르너 하이젠베르크, 막스 보른, 파스쿠알 요르당이 행렬 역학에 대한 체계를 만들고 있을 때, 그 곁에는 또 따른 절은(아니 어린) 물리학자 볼프강 파울리Wolfgan Pauli가 있었습니다. 1900년생 파울리는 아놀드 좀머펠트의 학생으로, 1921년 박사 학위를 받은 후, 보른과 함께 연구하고 있었습니다. 파울리는 이미 10대 시절, 상대성이론에 대한 논문을 썼고, 이후 200페이지가 넘는 상대성이론에 대한 "교과서"를 쓰는 등, 그의 천재성을 부정하는 사람은 아무도 없었습니다. 하이젠베르크-보른-요르당은 행렬 역학의 이론적인 측면을 지속적으로 발전 시켰으나, 행렬 역학의 치명적인 단점은 극복하지 못 했습니다. 그것은 바로 행렬 역학을 이용해서는 구제척인 문제를 풀기가 매우 어렵다는 것이었습니다. 행.. 폴 디랙에 의한 정준 양자화(Canonical Quantization)의 탄생 독일의 젊은 물리학자 하이젠베르크가 새로운 형식의 역학에 대한 논문을 발표한 뒤 약 3달 후, 바다 건너 영국의 젊은 물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)은 하이젠베르크의 이론을 한 층 더 발전 시킨 연구 결과를 내 놓습니다. (참고로 하이젠베르크는1901년생, 당시 만 24살이었고, 디랙은 하이젠베르크 보다 1년 늦게 1902년에 태어나 당시 만 23살이었습니다) 디랙의 논문은 1926년 영국의 학술지 Proc. Roy. Soc. A에 출간되었고, 논문의 제목은 The fundamental equatiions fo quantum mechanics 입니다. 제목에서 부터 뭔가 포스를 느낄 수 있는데요, fundamental 과 같은 어마어마한 단어를 시작으로 하는 논문은 실로 향후 양자역학에 어마어마한.. 막스 보른과 파스쿠알 요르당에 의한 행렬역학의 정립 지난 포스팅 에서는 베르너 하이젠베르크의 1925년 논문을 살펴보았습니다. 해당 논문에서 하이젠베르크는 고전역학에서는 단순 실수값을 가지던 "위치" 라는 물리량을 인덱스가 2개를 갖는 값으로 바꾸어 놓았습니다. 또한 인덱스가 2개인 값의 곱셈이 어떻게 표현되는지도 정의하였습니다. 그 당시의 하이젠베르크는 자신이 정의한 "인덱스가 2개인" 수학적인 대상이 행렬이라는 것을 알지 못했고, 따라서 그의 논문에는 "행렬(matrix)" 라는 단어가 전혀 등장하지 않았습니다. 행렬이라는 수학적 실체에 대해서 알지 못 했으니, 하이젠베르크는 그의 첫 논문에서 자신이 정의한 "인덱스가 2개인" 수학적인 대상에 대한 수학적인 체계에 대한 설명을 하지 못 하였습니다. 하이젠베르크의 논문은 독일의 저널 에 1925년 7월 .. 하이젠베르크는 어떻게 행렬역학을 유도하였나? (양자역학이 시작된 하이젠베르크의 1925년 논문 이해하기) 대부분의 양자역학 교과서와 커뮤니티에서는 양자역학의 시작을 막스 플랑크의 양자화 가설로 꼽습니다. 플랑크는 흑체 복사를 설명하기 위해 고전 전자기 이론에서 유도될 수 있는 빛의 에너지에 대한 공식이 아닌, 자신의 이름이 붙은 상수에 빛의 진동수를 곱한 값을 빛의 에너지로 새롭게 정의하였습니다. 흔히 $$E = \hbar \omega$$ 로 표현 됩니다. 플랑크 이후 닐스 보어, 아놀드 좀머펠트, 엘버트 아인슈타인, 루이스 드브로이 등에 의해서 원자 세계의 물리 법칙들이 하나 둘 밝혀지게 되었고, 보통 이들에 의해서 (1920년 이전에) 연구된 양자역학을 고전 양자 역학(old quantum theory)이라고 부릅니다. 이 당시의 양자역학의 법칙들은 특정한 원리(혹은 공리)로 부터 유도된 것이 아니라, .. 이전 1 2 3 4 5 다음
