물리학 (38) 썸네일형 리스트형 투사체 궤적의 포락선(envelope function) 구하기 포락선(envelope function)? 포락선이 무엇인지 정의하기 전에, 투사체의 궤적과 관련된 문제를 생각해 보도록 하겠습니다. 지표면의 한 점 (이 점을 원점이라고 생각하면 됩니다)에서 임의이 방향으로 정해진 속력 $v_0$로 물체를 던질 수 있는 장비가 있다고 가정하겠습니다. 한 사람이 이 장비를 이용해서 여러 방향을 물체를 던지고 있습니다. 편의상 지표면에 수직한 방향을 $y$축, 지표면과 나란항 방향 중에 한 방향(예를 들면 동쪽 방향)을 $x$축, $x$축, $y$축과 수직인 방향(예를 들면 남쪽 방향)을 $z$축이라고 하겠습니다. 만일 물체가 $x,y$ 평면으로, $x$축과 이루는 각도가 $\theta$인 방향으로 물체를 던진다고 한다면, 이 때 물체의 궤적은 아래와 같을 것 입니다. 위.. 곡선 위를 따라 움직이는 입자의 운동 방정식 이번 포스팅에서는 위 그림에서와 같이 곡선 위를 따라 움직이는 입자의 운동 방정식을 어떻게 구할 수 있고, 운동 방정식을 수치적인 방법을 통해서 실제로 푸는 방법에 대해서 알아 보도록 하겠습니다. 곡선의 매개 변수화 일반적으로 곡선은 $$\vec{r}(\theta) : \theta \in [a,b] \in \mathbb{R} \rightarrow \vec{r} = (x_1, x_2, ..., x_N) \in \mathbb{R}^N$$ 으로 표현할 수 있습니다. 우리 문제의 경우, 실제 공간은 3차원 이지만 문제를 좀 더 쉽게 하기 위해서 공간을 2차원으로 제한 하도록 하겠습니다. 따라서, 곡선을 기술하는 매개 변수를 $\theta$라고 할 때, $(x(\theta), y(\theta))$로 나타낼 수 있.. 그린함수에 대한 설명과 감쇄 조화 진동자 문제에 적용(Green's function and its application to damped harmonic oscillator) 선형 연산자 수학과 물리학에서는 "선형","선형 연산자", 혹은 "선형 방정식"이라는 개념이 자주 등장합니다. 여기서 선형 연산자라는 것은 연산자 $A$가, 연산자의 인수가 되는 입력 변수를 $f_1, f_2$, 임의의 실수를 $c$에 대해서 $$A(f_1 + f_2) = A f_1 + A f_2$$ $$A(cf_1) = cAf_1$$ 를 만족 시키는 경우를 말합니다. "선형 시스템"이라는 말도 많이 하는데, 선형 시스템은, 시스템을 기술하는 방정식(혹은 연산자)가 선형 방정식(혹은 선형 연산자)인 경우를 의미합니다. 선형 연산자의 대표적인 예시는 바로 행렬입니다. 임의의 행렬 $A$와 벡터 $\vec{x}_1, \vec{x}_2$, 실수 $c$에 대해서 행렬과 벡터의 연산의 정의에 의하여 $$A(\ve.. 1차원 공간에서 슈뢰딩거 방정식에 대한 몇 가지 정리 슈뢰딩거 방정식은 양자역학의 알파이자 오메가인 방정식입니다. 공간 차원이 1차원인 경우, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $$-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + V(x) \psi(x) = E\psi(x)$$ 로 주어집니다. 편의상 입자의 질량 $m$, 플랑크 상수 $\hbar$는 $1$로 두었습니다. 풀려고 하는 문제에 맞게 $V(x)$가 주어지고, $\psi(x)$가 만족해야 하는 경계 조건이 주어집니다. 구속된 상태(bound state)의 파동 함수의 경우, 파동 함수의 절대값의 제곱의 공간 전체의 적분이 유한 해야한다는 조건을 만족해야 합니다. 즉, $$\int \big| \psi(x)\big|^2dx \lt \infty$$ 이어야 합니다. 이번 포스팅에서는 아주 .. 몬테 카를로 시뮬레이션을 이용하여 통계 역학의 문제 풀기 (1) : 토이 모델 예시 지난 세 번의 포스팅을 통해서 몬테 카를로 시뮬레이션에 대해서 알아봤습니다. https://studyingrabbit.tistory.com/33?category=911605 몬테 카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulation) 의 이해 : 원주율값 구하기 (+파이썬 시뮬레이션 코드) 몬테카를로 시뮬레이션(혹은 알고리듬)이란 무엇인지를 정의하기란 매우 어려운데, 그 이유는 이 방법론을 수학과 응용수학 분야에서 매우 광범위하게 사용하기 때문입니다. (1 )이 시뮬레이션 studyingrabbit.tistory.com https://studyingrabbit.tistory.com/34?category=911605 파이썬을 이용한 몬테 카를로 적분(Monte Carlo Integration) 구현 .. 슈뢰딩거 방정식을 수치 해법으로 풀기 (2): 단조화 진동자 문제 풀기, 고유값이 아닌 에너지 값에 대응되는 파동 함수의 개형은? https://studyingrabbit.tistory.com/56 슈뢰딩거 방정식을 수치 해법으로 풀기 (1): 슈팅 방법으로 알아보는 고유값 문제, 무한 포텐셜 지난 세 번의 포스팅을 통해 미분 방정식을 수치 해법으로 푸는 과정을 알아봤습니다. 수치 해법으로 미분 방정식을 푸는것에 대해서 잘 모르신다면, 아래 포스팅을 먼저 보고 나서 이 포스팅을 studyingrabbit.tistory.com 지난 포스팅에서 수치 해법으로 슈뢰딩거 방정식을 풀어 보았습니다. (지난 포스팅을 읽지 않으신 분은 위 글 부터 먼저 읽기를 권장합니다) 양자 역학 문제 중, 가장 간단한 문제인 무한 우물 문제에 슈팅 방법을 적용하여 고유값과 고유 함수를 구했습니다. 수치 해법으로 구한 값은 해석적으로 구한 값과 매우 일치하였.. 슈뢰딩거 방정식을 수치 해법으로 풀기 (1): 슈팅 방법으로 알아보는 고유값 문제, 무한 포텐셜 우물 문제 풀기 지난 세 번의 포스팅을 통해 미분 방정식을 수치 해법으로 푸는 과정을 알아봤습니다. 수치 해법으로 미분 방정식을 푸는것에 대해서 잘 모르신다면, 아래 포스팅을 먼저 보고 나서 이 포스팅을 읽는 것을 추천합니다. https://studyingrabbit.tistory.com/53 수치 미분 방정식 풀이법과 이를 이용한 고전 역학 문제 해결 : 오일러 방법(Euler method)을 이용하 미분 방정식을 푸는 방법에 대한 포스팅이랑 수학의 내용을 다루지만, 이 방법을 이용하여 물리 문제를 푸는 것이 포스팅의 목적이기 때문에 이 글의 카테고리를 으로 택했습니다. 물리 studyingrabbit.tistory.com https://studyingrabbit.tistory.com/54 수치 미분 방정식 풀이법을 .. 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta method) 을 활용하여 보다 빠르고 정확하게 미분 방정식 문제를 수치 해법으로 풀기 + 파이썬 코드 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/53 수치 미분 방정식 풀이법과 이를 이용한 고전 역학 문제 해결 : 오일러 방법(Euler method)을 이용하 미분 방정식을 푸는 방법에 대한 포스팅이랑 수학의 내용을 다루지만, 이 방법을 이용하여 물리 문제를 푸는 것이 포스팅의 목적이기 때문에 이 글의 카테고리를 으로 택했습니다. 물리 studyingrabbit.tistory.com 에서 미분 방정식을 수치 해법으로 풀 수 있는 가장 간단한 방법인 오일러 방법에 대해서 알아 봤습니다. 간단히 복습을 하면 오일러 방법은 (1) 시간을 기본 단위 $h$를 이용하여 불연속적인 값으로 바꾸고, 각 시각을 $t_n$으로 표현 (2) 미분값을 근사적으로 계산 $f(t + h) \ap.. 이전 1 2 3 4 5 다음 목록 더보기
