투사체 궤적의 포락선(envelope function) 구하기

포락선(envelope function)?

 

포락선이 무엇인지 정의하기 전에, 투사체의 궤적과 관련된 문제를 생각해 보도록 하겠습니다. 

 

지표면의 한 점 (이 점을 원점이라고 생각하면 됩니다)에서 임의이 방향으로 정해진 속력 $v_0$로 물체를 던질 수 있는 장비가 있다고 가정하겠습니다. 한 사람이 이 장비를 이용해서 여러 방향을 물체를 던지고 있습니다. 편의상 지표면에 수직한 방향을 $y$축, 지표면과 나란항 방향 중에 한 방향(예를 들면 동쪽 방향)을 $x$축, $x$축, $y$축과 수직인 방향(예를 들면 남쪽 방향)을 $z$축이라고 하겠습니다. 만일 물체가 $x,y$ 평면으로, $x$축과 이루는 각도가 $\theta$인 방향으로 물체를 던진다고 한다면, 이 때 물체의 궤적은 아래와 같을 것 입니다. 

위 그림에서 붉은색으로 표시한 점이 원점, 물체의 초기 위치이고, 하늘색으로 표시한 곡선이 물체의 궤적입니다. 위 물체의 운동은 2차원 운동으로, 뉴턴의 운동방정식에 따라서 $x,y$ 축 방향의 움직임은

$$x(t) = v_0 \cos \theta t$$

$$y(t) = v_0 \sin \theta t -\frac{1}{2}gt^2$$

가 됩니다. 이 식에서 시간 $t$를 소거하면 $y = y(x)$와 같은 궤적을 얻을 수 있는데, 간단하게 

$$y(x, \theta) = -\frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta} + x \tan \theta$$

가 됨을 확인할 수 있습니다. 곡선의 궤적은 $\theta$의 값에 따라 결정되기 때문에 $\theta$값을 강조하기 위해서 $y$의 인자로 넣어 표시하였습니다. 

 

물체를 던지는 초기 각도 $\theta$에 다양한 값들을 입력하여 궤적을 구하면,

위와 같은 궤적들을 얻을 수 있습니다. 계산을 간단하게 하기 위해서 $v_0 = 1, g=1$ 의 값을 사용하였습니다. 

 

위 그림에서 궤적들은 마치, 원점에 위치한 분수에서 쏟아져 나오는 물의 모습과도 같습니다. 분수에서는 동시에 여러 방향으로 물이 뿜어져 나오는데, 서로 다른 초기 각도의 궤적이 겹쳐져서 위 그림과 같이 보이는 것 입니다. 

 

이와 같은 상황에서, 만일 원점에서 던져지는 공에 맞지 않으려면 어떤 곳에 있어야 할까요? 분수의 문제로 생각한다면, 원점에 위치한 분수에서 뿜어져 나오는 물에 젖지 않으려면 어느 곳에 있어야 할까요?

 

우선 간단하게 $|x|>1$ 이면 됩니다. 물체(혹은 물)이 도달할 수 있는 $x$의 최대값(최소값)은 $1(-1)$ 이기에 이 보다 더 먼 곳에 있다면 물체에 맞지 않습니다. 만일 $|x|<1$ 이라고 하더라도, $y$좌표의 값이 0이 아니라면, 즉 지면에 붙어 있는 것이 아니라 사다리를 통해서 지표면에서 떨어져 높은 곳에 위치 한다면 물체를 피할 수 있습니다. 예를들어, $x=0.5$의 위치에서 $y>0.4$가 된다면, 아슬아슬하게 물체제 맞지 않을 수 있습니다. 

 

물체에 맞지 않을 수 있는 일반적인 위치 $(x,y)$의 영역을 구할 수 있을까요?

위 그래프는 매우 다양한 각도에 대한 물체의 궤적을 그린 것 입니다. 하늘색 궤적들이 겹쳐져서 거의 면으로 보입니다. 따라서 물체에 맞지 않을 수 있는 영역은 위 그래프에서 파란색의 바깥 영역 입니다. 

편의상 파란색 영역을 감싸고 있는 선을 하나 그리면 위 그래프의 붉은색 선이 됩니다. 위 붉은색 선의 곡선의 방정식을 $y = y_e(x)$라고 한다면, 물체에 맞지 않는 영역은 $y > y_e(x)$를 만족하는 영역이 됩니다. 

 

이제 $y_e(x)$의 곡선의 방정식을 구해 보도록 하겠습니다. 

 

(하나의 문자가 서로 다른 의미로 여러 번 사용되는 혼동을 피하기 위해서) $x$축 위의 한 점의 값을 $x=a$라 하겠습니다. 이 때, $y_e(a)$ 값을 구하면 되는데, $y_e(a)$는 $x=a>0$에 존재하는 모든 파란색 점의 최대값이 된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, 공이 $x=a$ 를 통과 할 때, 이 공이 도달할 수 있는 최고 높이($y$값) 보다 더 높은 위치에 있으면 공을 피할 수 있는 것 입니다. 이를 수식으로 표현하면

$$y_e(a) = \max_{\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]} y(a, \theta)$$

가 됩니다. 보통은 $y(x,\theta)$의 함수를 $\theta$값이 고정된 상태에서 $x$의 변화에 따른 $y$의 변화를 생각하는데, 이 문제에서는 $x=a$로 고정 돼 있을 때, 어떻게 각도 $\theta$를 조정하면 $y(a, \theta)$의 최대값을 얻을 수 있는지 묻고 있습니다. 

 

$\theta$에 대한 최대값을 찾는 문제이기 때문에, 간단하게 $\theta$에 대해서 미분을 했을 때, 미분값이 0이 되게 하는 $\theta$를 찾고, 이 $\theta$ 값에서 $y$를 구하면 됩니다. 

$$0 = \frac{\partial y(a,\theta)}{\partial \theta} = \frac{a}{\cos^2 \theta} - \frac{ga^2 \tan \theta}{v_0^2 \cos^2 \theta}$$

로 부터 우리가 찾는 값은

$$\tan \theta = \frac{v_0}{g} \frac{1}{a}$$

를 알 수 있습니다. 이 때 $y(a, \theta) = y(a, \tan^{-1} (\frac{v_0}{ga})) = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}a^2$ 가 되고, 따라서 우리가 찾으려는 $y_e(x)$의 방정식은 $a$를 $x$로 바꾸면, 

$$y_e(x) = \frac{v_0^2}{2g} - \frac{g}{2v_0^2}x^2$$

가 됩니다. 이 식이 바로, 우리가 찾으려고 한 위 그래프의 붉은색 곡선의 그래프 입니다!

 

물리학이 대학교 전공인 필자가 2학년 고전 역학 중간 고사 시험에서 이 문제를 접했습니다. 그 당시에는 이 문제를 어떻게 풀어야 할지 전혀 감도 잡히지 않았는데, 지금 생각하니 조금만 생각을 한다면 쉽게 풀 수 있는 간단한 문제였습니다. 

 

하늘색 곡선(궤적)이 2차 곡선이었는데, 하늘색 곡선들의 영역을 제한하는 붉은색 곡선 역시 2차 곡선이 얻어졌습니다. 어떻게 생각하면 당연하기도 하지만, 어떻게 생각하면 다소 신기하기도 합니다. 

 

위 그래프에서 특정 부분을 확대하여 그린 것 입니다. 하늘색 곡선을 붉은색 곡선이 둘러 싸고 있는 개형인데, 하늘색 곡선과 붉은색 곡선이 교점에서는 두 점이 접하고 있습니다. 두 곡선이 한 점에서 만나게 되면, 접하는 점에서 두 곡선의 접선이 나란하거나 나란하지 않게 되는데, 후자의 경우에는 두 곡선이 교차하게 됩니다. 

 

포락선이란?

 

이 포스팅의 주제는 포락선인데, 포락선이 무엇인지 설명하기 전에 물리 문제를 먼저 풀었습니다. 이 물리 문제에서 붉은색 곡선이 바로 푸른색 곡선들의 포락선이 됩니다. 

 

푸른색 곡선"들" 이라고 하였는데, 푸른색 곡선은 투사체의 각도 $\theta$에 따라서 그 형태가 달라지는 곡선이었습니다. 즉 $\theta$라는 일변수 파라미터에 의해서 곡선의 방정식이 주어지고, $theta$를 변화함에 따라서 비슷하지만 다른 곡선들이 얻어졌습니다. $\theta$를 0부터 $\pi$까지 변화하면서 그린 푸른색 곡선들을 둘러싸고 있는 붉은색 곡선이 바로 포락선 입니다. 

 

붉은색 곡선과 특정한 하나의 푸른색 곡선은 단 한점에 만나게 되는데, 그 점에서 접하게 됩니다. 즉, 포락선은 파라미터 $\theta$의 의해 결정되는 곡선들과 한 점에서 만나게 되고, 그 만나는 점에서 접하게 됩니다. 이를 수학적으로 표현하면 

 

(1) $\theta$에 따라 결정되는 하늘색 곡선들

하늘색 곡선의 곡선의 방정식은 $y = y(x, \theta)$인데, 이를 음함수의 형태로 바꾸면 $F(x, y, \theta) = 0$으로 놓을 수 있습니다. 그리고 하늘색 곡선들을 보통 곡선족(Family)라고 합니다. 

 

(2) 포락선을 구성하는 점은, 곡선족에 속해있는 점이며, 매우 인접한 두 곡선족 모두에 포함된다. 즉, 포락선의 방정식은 $$F(x, y, \theta) = 0$$

$$\frac{\partial }{\partial \theta }F(x, y, \theta) = 0$$

가 됩니다. 

 

위 물리 문제에서는 $x$축 위의 임의의 점 $x=a$에서 포락선의 $y$좌표를 구하기 위해, 하늘색 곡선족이 가질 수 있는 $y$의 최대값을 구했습니다. 이 과정에서 $\frac{\partial y}{\partial \theta}=0$를 풀었는데, 이는 위 설명에서 (2)와 같은 내용입니다.