그린함수에 대한 설명과 감쇄 조화 진동자 문제에 적용(Green's function and its application to damped harmonic oscillator)

선형 연산자

 

수학과 물리학에서는 "선형","선형 연산자", 혹은 "선형 방정식"이라는 개념이 자주 등장합니다. 여기서 선형 연산자라는 것은 연산자 $A$가, 연산자의 인수가 되는 입력 변수를 $f_1, f_2$, 임의의 실수를 $c$에 대해서 

$$A(f_1 + f_2) = A f_1 + A f_2$$

$$A(cf_1) = cAf_1$$

를 만족 시키는 경우를 말합니다. "선형 시스템"이라는 말도 많이 하는데, 선형 시스템은, 시스템을 기술하는 방정식(혹은 연산자)가 선형 방정식(혹은 선형 연산자)인 경우를 의미합니다. 

 

선형 연산자의 대표적인 예시는 바로 행렬입니다. 임의의 행렬 $A$와 벡터 $\vec{x}_1, \vec{x}_2$, 실수 $c$에 대해서 행렬과 벡터의 연산의 정의에 의하여

$$A(\vec{x}_1 + \vec{x}_2) = A\vec{x}_1 + A\vec{x}_2$$

$$A(c\vec{x}_1) = cA\vec{x}_1$$

가 성립한다는 것은 쉽게 보일 수 있습니다. 사실, 행렬은 선형 연산자를 표현하기 위해서 도입된 것이기 때문에, 행렬 그 자체가 선형 연산자라고도 볼 수 있습니다. 

 

역학 시스템에서도 선형 연산자 혹은 이로 부터 유도되는 선형 방정식을 쉽게 볼 수 있습니다. 가장 간단하면서도 중요한 시스템인 단조화 진동자의 운동 방정식은

$$\frac{d^2}{dt^2} x(t) + \omega_0^2 x(t) = 0$$

으로 주어지는데, 여기서 $\hat{L} = \frac{d^2}{dt^2} + \omega_0^2$ 이라고 연산자를 정의한다면, 위 방정식은

$$\hat{L}(x(t)) = 0$$

로 쓸 수 있습니다. 미분 연산자 ($\frac{d}{dt}$)의 성질에 따라서 위에서 정의한 $\hat{L}$이 선형 연산자의 조건

$$\hat{L}(x_1(t) + x_2(t)) = \hat{L} x_1(t) + \hat{L} x_2(t)$$

$$\hat{L}(cx_1(t)) = c\hat{L}x_1(t)$$

을 만족함을 알 수 있습니다. 

 

단조화 진동자에 속도에 비례하는 감쇄가 있는 경우, $2\gamma \frac{d}{dt}x(t)$와 같은 항을 운동 방정식에 추가할 수 있고, 이를 추가한 연산자 $\hat{L} = \frac{d^2}{dt^2} +2\gamma \frac{d}{dt} + \omega_0^2$ 역시 선형 연산자가 됨을 알 수 있습니다. 따라서, 감쇄 조화 진동자 역시 선형 시스템이 됩니다. (이후 내용에서 미분 방정식의 예시로 위에서 정의한 감쇄 조화 진동자의 방정식을 사용할 것 입니다. 별다른 언급이 없으면 "시스템"이라고 하는 것은 (외력이 있는) 감쇄 조화 진동자의 시스템을 말 합니다)

 

외력이 있는 감쇄 조화 진동자 : 비제차((inhomogenous)) 미분 방정식

 

감쇄 조화 진동자 시스템에 위치, 혹은 시간에 의존하는 외력$F(x,t)$이 주어진 경우 시스템템을 기술하는 미분 방정식은 

$$\hat{L}(x(t)) = \frac{d^2}{dt^2} x(t)+2\gamma \frac{d}{dt} x(t) + \omega_0^2 x(t) = F(x,t)$$

와 같이 우변에 $F(x,t)$가 추가 됩니다. 이 같이 $x(t)$ 혹은 $x(t)$의 미분식과 곱해지지 않은 항이 있는 미분 방정식을 비제차 미분 방정식이라고 합니다. 일반적으로 비제차 미분 방정식은 제차 미분 방정식에 비해 해석적으로 푸는 것이 어려운데, 당연하게도 우변이 0이 아닌 일반적인 함수가 되기 때문입니다. 

 

방정식의 선형성을 이용한 비제차 미분 방정식의 풀이

 

우변에 $F(x,t)$가 추가되어 방정식을 푸는 것이 어려워지긴 했지만, 좌변에 있는 연산자 $\hat{L}$이 선형 연산자라는것을 최대한 활용한다면 비제차 미분 방정식을 좀 더 쉽게 풀 수 있을 것 입니다. 만일 $F(x,t)$를 $F(x,t) = f_1(x,t) + f_2(x,t)$와 같이 분리하여 쓸 수 있고, $f_1(x,t), f_2(x,t)$에 대한 비제차 방정식

$$\hat{L}(x_1(t)) = f_1(x,t)$$

$$\hat{L}(x_2(t)) = f_2(x,t)$$

를 만일 풀 수 있다고 가정하겠습니다. 위 두 식을 더하면,

$$\hat{L}(x_1(t)) + \hat{L}(x_2(t))  = f_1(x,t) +  f_2(x,t) = F(x,t)$$

이 되고, $\hat{L}$의 선형성에 따라서, 

$$\hat{L}(x_1(t)) + \hat{L}(x_2(t)) = \hat{L}({x_1(t) + x_2(t)})  = f_1(x,t) +  f_2(x,t) = F(x,t)$$

가 됩니다. 즉, $x(t) =x_1(t) + x_2(t)$가 비제차 방정식 $\hat{L}(x(t)) = F(x,t)$의 해가 되는 것 입니다. 

 

위 성질을 이용하면, 원래 풀어야 했던 비제차 방정식의 풀이는 

(1) $F(x,t)$를 어떻게 분해(합으로 표현)하는 것이 좋을까?

(2) (1)과 같이 분해한 경우, 각자의 $f(x,t)$에 대한 비제차 미분 방정식을 풀 수 있을까?

바뀌었습니다. 

 

첫 번째로 "(1) $F(x,t)$를 어떻게 분해(합으로 표현)하는 것이 좋을까?"를 먼저 생각해 보겠습니다. 특정 함수를 합으로 하는데는 여러 방식이 있습니다. 유명한 예시로 테일러 급수를 이용하여 다항식으로 전개, 혹은 푸리에 급수를 이용하여 삼각함수로 전개가 있을 것 입니다. 

$$F(x,t) = F(0, 0) + \frac{\partial F}{\partial t}t + \frac{\partial F}{\partial x}x + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}t^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}x^2 + ...$$

혹은

$$F(x,t) = F_{0,0} + F_{1,0}\cos(x) + F_{0,1}\cos(t) + F_{1,1}\cos(x)\cos(t) + ... $$

와 같은 방식입니다. 일반적으로 쓴다면,

$$F(x,t) = \sum_{n,m} c_{n,m}\phi_{n,m}(x,t)$$

와 같습니다. 테일러 급수의 경우, $\phi_{n,m}(x,t) = t^n x^m$의 형태이고, 푸리에 급수의 경우, $\phi_{n,m}(x,t) = \cos(nt)\cos(mt)$의 형태입니다. 

 

$F(x,t)$의 분해(합으로 표현)를 정했다면, 남은 문제는 $F(x,t)$의 분해 $\phi_{n,m}(x,t)$ 마다 이에 대응되는 비제차 미분 방정식

$$\hat{L}((x(t)) = \phi_{n,m}(x,t), n,m = 0, 1, 2, 3...$$

를 풀어야 합니다.

 

따라서, 이 문제를 푸는데 가장 좋은 분해 방식은 $\hat{L}((x(t)) = \phi_{n,m}(x,t), n,m = 0, 1, 2, 3...$이 쉽게 풀리는 분해 방식입니다. 단순히 분해에만 집중한다면 익숙한 테일러 급수나 푸리에 급수가 좋겠지만, 테일러 급수의 경우 임의의 $(n,m)$에 따라서 $\hat{L}((x(t)) = t^n x^m$를 풀어야 하고, 푸리에 급수의 경우, 역시 임의의 $(n,m)$에 따라서 $\hat{L}((x(t)) = \cos(nt)\cos(mt)$를 풀어야 합니다. 테일러 급수와 푸리에 급수는 이 개별 비제차 미분 방정식을 푸는것이 어렵기 때문에, 테일러 급수와 푸리에 급수를 이 문제를 푸는데 이용하는 것은 그리 좋은 방법은 아닙니다. 

 

디락 델타 함수를 이용한 함수의 분해와 비제차 미분 방정식

 

디락 델타 함수는 양자역학의 창시자 중 한 명으로 유명한 영국의 물리학자 폴 디락에 의해 고안된 함수 입니다. 정확히는 함수라기 보다는 분포(distribution)이라고 할 수 있는데, 편의상 그냥 함수라고 하도록 하겠습니다. 디락 델타 함수(그냥 편의상 델타 함수)는 아래와 같은 성질을 같는 함수 입니다. 

$$\delta(x) =
  \begin{cases}
    0, &  x  \neq  0\\
    +\infty, &  x = 0
\end{cases}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx = 1$$

$x \neq 0$ 인 곳에서는 0이고 $x=0$인 곳에서만 $0$이 아닌 값을 갖는데, 적분을 하면 $1$이 되는 신기한 함수 입니다. 델타 함수를 직관적으로 생각하는데는 여러가지 방법이 있겠지만, 스텝 함수(step function)의 극한이라고 생각하는 것이 좋습니다. 즉

$$\delta_{a}(x) =
  \begin{cases}
  \frac{1}{2a}, &  x \in [-a, a]\\
    0, &  \text{otherwise}\\
\end{cases}$$

일때, $\delta(x) = \lim_{a \rightarrow 0} \delta_a(x)$ 입니다. 따라서 직관적으로 생각할 때는 작지만 $0$이 아닌 $a$에 대한 스텝 함수로 생각을 하고, 최종적으로 $a$를 무한소로 보내는 극한을 생각하면 됩니다. 

 

디락 델타 함수를 이용하면, 임의의 함수를 분해(합으로 표현) 할 수 있는데, 이는 매우 직관적이면서 기초적이 분해 입니다. 예를들어,

위 파란색으로 그린 함수 $f(x)$는 

와 같이 붉은색으로 표시한 스텝 함수의 합으로 근사할 수 있습니다. 위 근사에서는 구간 $[0,1]$를 $N = 10$ 등분하는 $\delta_{\frac{1}{10}}(x)$를 이용하여 함수 $f(x)$를 근사한 것 입니다. 즉, 붉은색으로 표시한 근사 함수를 $f_{N}(x)$라고 한다면,

$$f(x) \approx f_{N}(x) = \sum_{n=0}^{N-1}c_n \delta_{\frac{1}{N}}\big(x- (\frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})\big)$$

이 됩니다. 여기서 $c_n = f(\frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})$ 입니다. 

 

위 식을 그래프로 표현하면,

위 그래프에 보이는 10개의 그래프를 모두 더 하는 것 입니다. 위 그래프는 각 $ c_n \delta_{\frac{1}{N}}\big(x- (\frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})\big)$ 를 의미 합니다. 위 예시에서는 $N=10$으로 작고 유한한 값이었기 때문에, $f(x)$와 $f_{N}(x)$의 차이가 크지만, 만일 $N\rightarrow \infty$가 된다면 $f(x)$와 $f_{N}(x)$의 차이가 없어지게 되서, $f(x) = f_{\infty}(x)$가 될 것이라고 생각할 수 있습니다. 이 같은 방법은 구분구적법이나 유한요소 해석법에서 항상 취하는 근사와 극한 입니다. 

 

실제로 $N\rightarrow \infty$ 의 경우 $f_N(x)$의 표현식에서 $\sum_{n=0}^{N-1}$은 적분으로 바꿀 수 있고, 이를 표현하면, 

$$f(x) = f_{\infty}(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(s)\delta(s-x) ds$$

가 됩니다. 구분구적법의 $\sum$을 $\int$ 로 바꾸는 것과 개념적으로 동일합니다. 

 

델타 함수에 대한 비제차 미분 방정식의 해 : 그린 함수

 

디락 델타 함수에 대해서 다루는데 분량을 많이 할애 하였는데, 원래 문제로 돌어가면... 비제차 미분 방정식의 우변에 있는 $F(x,t)$를 디락 델타 함수를 통해서 표현할 수 있음을 알아 봤습니다. $F(x,t)$를 디락 델타 함수로 분해 했으니, 이제는 디락 델테 함수에 대한 비제차 미분 방정식의 해를 구해야 합니다. 여기서 부터는 $F(x,t)$를 $t$의 함수 $F(t)$로 제한하도록 하겠습니다. 만일 디락 델테 함수에 대한 비제차 미분 방정식

$$\hat{L}(x(t)) = \delta(t-s)$$

의 해를 $G(t-s)$ 라고 한다면, 연산자 $\hat{L}$의 선형성에 따라서, $\hat{L}(x(t)) = f(t)$의 해는

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} G(t-s)f(s) ds$$

가 됩니다. 여기서 $G(t-s)$를 그린 함수라고 합니다. 적분은 전체 구간을 무한히 나누고, 각 구간을 다 더하는 것이기 때문에, 위 과정을 개념적으로 설명하면 "$f(t)$를 여러 조각으로 나누고, 각 조각에 대한 비제차 미분 방정식의 해를 구한 다음에, 해를 모두 합한다"가 됩니다. 이 과정에서 연산자 $\hat{L}$의 선형성을 이용하였고, 각 조각에 대한 미분 방정식이 해가 바로 그린 함수 $G(t-s)$가 됩니다. $G(t-s)$는 $t=s$인 디락 델타 함수에 대한 시스템의 해(반응)입니다. 

 

그린 함수를 실제로 구해보자

 

원리적으로 볼 때, 어떤 비제차 미분 방정식의 문제가 주어지더라도 (즉, 방정식의 우변에 임의의 $f(t)$가 오더라도), 비제차 미분 방정식의 그린 함수만 구할 수 있다면, 그린 함수와 $f(t)$와의 적분만으로 해를 구할 수 있게 됩니다. 따라서, 우리에게 남은 문제는 디락 델타 함수에 대한 비제차 미분 방정식만 풀면 됩니다. 

 

풀어야 하는 방정식을 다시 쓰면,

$$\frac{d^2}{dt^2} x(t) + 2\gamma \frac{d}{dt}x(t) + \omega_0^2x(t) = \delta(x-s)$$

이고, 초기 조건은 가장 쉬운 초기 조건인 $x(-\infty) = \frac{d}{dt}x(t=-\infty) =0$으로 하도록 하겠습니다. 우항의 $delta(t-s)$가 없었다면, 위 미분 방정식의 해는 $x(t) = 0$ 입니다. 감쇄 조화 진동자의 역학 문제라고 생각한다면, 무한히 오래전 부터, 그리고 무한히 먼 미래까지 계속 해서 입자는 움직이지 않고 원점에 그대로 머물러 있는 상태 입니다. 

 

위 문제를 단순히 수학적으로 풀어도 되지만, 물리적인 직관을 이용하여 풀면 더 쉽게(?) 풀 수 있습니다. 위 식을 운동 방정식으로 이해하면(원래 부터 운동 방정식이긴 했지만, 좀 더 물리적으로 이해하면) 우변의 함수는 감쇄 조화 진동자의 외력이라고 생각할 수 있고, 디락 델타 함수의 정의에 따라서 이 외력은 "시간 $t=s$에 힘이 작용하였고, 충격량의 합은 1" 입니다 충격량은 힘을 시간으로 적분한 값이기 때문에, $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-s) dt = 1$ 이 됩니다. 입자의 운동량의 변화량은 충격량과 같습니다. 따라서 정지(운동량=0)했던 상태에서 충격량 $1$을 받았기 때문에, 힘을 받은 직후 입자의 운동량은 $1$이 됩니다. 위 식에서 질량을 애초에 $1$로 정의 하였기 때문에 $t=s$에서 입자의 속도는 $\frac{dx}{dt}(t=s) = 1$이 됩니다. 결론적으로 디락 델타 함수 형태의 외력 때문에, 초기 조건 $x(-\infty) = \frac{dx}{dt}(t = -\infty)$의 문제는 초기 조건 $x(s) = 0, \frac{dx}{dt}(t=s) = 1$의 문제로 바뀌게 됩니다. 초기 조건이 이렇게 바뀌는 대신 외력이 없는 문제가 됩니다. 더 정확히는 디락 델테 함수 형태의 외력이 초기 조건을 바꾸어 놓는 역할을 했다고 볼 수 있습니다. 

 

외력이 없는 감쇄 조화 진동자 문제는 2계 미분 방정식을 푸는 전형적인 방법으로 풀 수 있습니다. $x(t) = Ae^{i\omega t}$ 형태로 해를 가정하고, 이를 만족시키는 $A, \omega$를 찾으면 됩니다. 이 경우 특성 방정식은

$$\omega^2 + 2\gamma \omega + \omega_0^2 = 0$$

이 되고, 감쇄가 크지 않아서 underdampping 을 가정 하는 경우($\omega_0^2 \gt \gamma^2$), 2차 방정식의 근의 공식에 따라서 $\omega = -\gamma + i \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2 }$을 얻습니다. 이로 부터 해는

$$x(t) = Ae^{-\gamma t} \cos(\omega t) + B e^{-\gamma t } \sin(\omega t)$$

가 됩니다. (바뀐) 초기 조건 $x(s) = 0, \frac{dx}{dt}(t=s) = 1$를 만족할 수 있도록 $A, B$를 정해주면 되는데,

$$A = 0, B = \frac{1}{\omega}$$

가 됨을 쉽게 알 수 있고, 따라서 최종 해는

$$x(t) = e^{-\gamma (t-s)}\frac{\sin (\omega (t-s))}{\omega}$$

가 됩니다. $t \leq s$에서는 외력이 없기 때문에 그대로 $x(t) = 0$이고, $t \geq s$에서 부터 $x(t) = e^{-\gamma (t-s)}\frac{\sin (\omega (t-s))}{\omega}$가 성립하기 때문에 보다 정확하게 해를 쓰려면, $\Theta$함수를 도입하여

$$x(t) = G(t-s) = \Theta(t-s) e^{-\gamma (t-s)}\frac{\sin (\omega (t-s))}{\omega}$$

라고 쓸 수 있습니다. 여기서 $\Theta(t)$는

$$\Theta(x) =
  \begin{cases}
  1, &  x \geq 0\\
    0, &  x \lt 0\\
\end{cases}$$

입니다. 

$\omega_0 =1, \gamma = 0.2$ 일때, $G(t-s)$의 그래프 입니다. 편의상 $s=0$으로 두었스니다. $s \ne 0$인 경우에는 $s$만큼 평행이동을 시키면 됩니다. 앞에서 그린함수의 해를 물리적으로 설명하면서 그린함수는 "순간적으로(델타 함수) 충격량 1을 가했을 때의 감쇄 조화 진동자의 움직임" 이라고 언급 했는데, 위 그래프를 보면 실제로 그렇다는 것은 확일 할 수 있습니다. 스프링에 달린 물체를 가볍게 한 번 치거나, 혹은 줄에 매달린 진자를 한 번 가볍게 치면, 위와 같은 감쇄 진동 운동을 함을 일상 생활의 경험을 통해 알 수 있습니다. 

 

우변의 델타 함수 형태의 힘에 의해서 가만히 있던 진동자는 위 그래프와 같은 운동을 하게 됩니다. 즉 우변의 델타 함수는 시스템을 움직이게 하는 원인(source)의 역할을 하였다고 볼 수 있습니다. 이 같은 이유로 그린 함수를 "(단위) source에 의한 시스템의 반응(response)" 이라고 표현하기도 합니다. 조금 더 일반적으로는 비제차 미분 방정식의 우항 전체를 시스템의 source라고 하기도 합니다. 감쇄 조화 진동자 문제의 경우 우항이 외력이 되는데, 외력을 진동자를 진동하게 만드는 source가 되는 것이니 매우 어울리는 표현입니다. 

 

그린 함수를 이용하여 비제차 미분 방정식의 일반해를 구하자

 

방정식의 우변이 $f(t)$ 인 경우, 

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \Theta(t-s) e^{-\gamma (t-s)}\frac{\sin (\omega (t-s))}{\omega} f(s) ds$$

를 구해주면 됩니다. 피적분 함수가 매우 복잡하기 때문에, 일반적인 경우에는 해석적인 방법으로 이 적분을 할 수 없습니다. 따라서 대부분의 경우에는 수치적인 방법으로 적분을 하게 되는데, 우리도 이를 따라서 수치적인 적분을 하도록 하겠습니다. 이번 포스팅에서는 단순히 정확한 수치적 계산을 하는 것이 목표가 아니라 개념을 설명하는 것이 목표이기 때문에, 위 적분은 수치 적분을 테크닉을 써서 단순 적분 하기 보다는 개념적인 이해를 위해서 근사적으로 적분을 하도록 하겠습니다. 

 

앞에서 델타 함수의 분해 설명을 할 때 사용했던 $f(t) = \frac{1}{100}t**2 + \cos(2\pi t) +1, t \in [0, 1]$ 을 한 번 더 예시로 사용하겠습니다. 이 함수를 $delta_{\frac{1}{10}}(t)$를 이용하여 분해하면 (앞에서 이용한 그래프와 같습니다)

와 깉이 됩니다. 여기서 파란색 그래프를 붉은색 그래프($N=10$ 조각으로 나눔)로 근사할 수 있습니다. 각 붉은색 구간에서 힘의 크기는 시간 $\frac{1}{10}$ 시간 동안 동일하기 때문에, 각 구간에서의 충격량은 "힘 $\times$ 시간" 이므로 $f(\frac{1}{10}n+\frac{1}{20}) \times \frac{1}{10}$ 이 됩니다.  예를들면 $n=0$에서 함수값은 약 $1.9$ 이고 따라서 충격량은 $0.19$가 됩니다. 

각 구간에서 충격량을 구하고, 그 충격량과 같은 크기의 충격량을 주는 델타 함수를 표현하면 위와 같습니다. 델타 함수는 함수의 값이$0$이 아닌 경우 무한대의 값을 갖기 때문에 일반적으로는 그래프에 표현을 할 수 없지만, 보통의 경우 델타 함수의 계수가 되는 값을 그래프의 $y$값으로 표현하고, 그 대신 델타 함수라는 것을 추가적으로 표현하기 위해서 화살표를 사용합니다. 

 

결론적으로 두 번의 근사(연속 함수를 불연속적인 여러개의 스텝 함수로 분해, 각 스텝 함수를 델타 함수로 표현) 를 사용하여 연속적인 형태의 $f(t)$를 델타 함수의 합으로 표현하였습니다. 이를 통해서 우변은

$$\hat{L}(x(t)) = f(t) \approx \sum_{n=0}^{9} \Big[ f(\frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})) \frac{1}{10}\Big] \delta\big(x- (\frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})\big)$$

와 같이 변화 되었고, 각 델타 함수에 대한 비제차 미분 방정식의 해는 앞서 구한 그린 함수 $G(t-s)$라는 것을 알고 있기에, 최종적인 해는 

$$x(t) = \sum_{n=0}^{9} \Big[ f(\frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})) \frac{1}{10}\Big]G(t - \frac{1}{N}n+\frac{1}{2N})$$

가 됩니다. 

 

각 $n$에서의 충격량에 의한 진동(그린함수와 충격량의 곱)을 그래프로 그리면

위와 같습니다. 충격이 가해지는 시점을 붉은색 점으로 표시하였고, 그 충격에 의한 진동을 실선 그래프로 표시하였습니다. 위 수식은 이 10개의 그래프를 하나의 그래프로 합치는 것인데, 결과적으로

가 됩니다. $t \in [0, 1]$ 구간에서 그래프가 약간 꾸불렁 하는데, 그것은 $[0,1]$ 구간에서 불연속적인 그래프 10개가 합쳐져 있기 때문입니다. $t \gt 1$ 구간에서는 부드러운 감쇄하는 사인 함수 처럼 보이는데, $t \gt 1$에서는 아무런 외력이 작용하지 않았고, $t \lt 1$ 동안 가해진 충격력에 의해서 얻어진 운동량(속도)이 가해진 단순한 감쇄 진동자 운동이 됩니다. 

 

모든 것은 일반화 되어야 한다.

 

위에서는 매우 구체적인 예시, 즉 감쇄 조화 진동자, 에 대해서 그린 함수가 어떻게 주어지는지, 그리고 그린 함수를 통해서 일반적인 비제차 미분 방정식을 어떻게 풀어야 하는지를 알아 보았습니다. 요약하자면,

 

풀어야 하는 미분 방정식의 제차 미분 방정식(우변 = 0인 방정식)이 선형 방정식 이라면,

(1) 우변을 델타 함수로 분해한다. 

(2) 각 델타 함수에 대한 비제차 미분 방정식을 푼다. 이 때의 해를 그린 함수라고 한다.

(3) (1)에서 분해한 각 델타 함수에 대한 그린 함수를 모두 구한다. 각 델타 함수에 대한 그린 함수는 특정한 그린 함수의 평행 이동이기 때문에, 그린 함수를 하나만 구하면 임의의 모든 델테 함수에 대한 반응을 구할 수 있습니다. 

(4) (3)에서 구한 각 그린 함수를 모두 더한다. 이 과정에서는 적분을 하게 됩니다. 

의 방식으로 비제차 미분 방정식의 해를 구할 수 있었습니다. 

 

일상의 용어를 이용하여 위 방법을 설명하자면 "복잡한 문제를 풀 때는, 문제를 조각 내어 작은 문제로 바꾼다. 얼마나 작게 조각을 내는가 하면, 조각 난 문제가 매우 간단해 져서 우리가 해석적인 방법으로 문제를 풀 수 있을 때 까지 조각낸다. 각 조각에 대해서 문제를 풀고 난 뒤, 각 조각의 해답을 모두 더하면 그 값은 원래 풀고자 했던 복잡한 문제의 해가 된다" 입니다. 이와 같이 "쪼개고, 풀고, 더하고" 가 되는 까닭은 풀고자 하는 문제가 (제차 방정식의 경우) 선형 방정식이기 때문입니다. 

 

세상에 미분 방정식이 감쇄 진동자 문제 밖에 없는 것은 아니기 때문에, 일반적인 미분 방정식의 형태에 대한 그린 함수는 그 때 그 때 풀어야 한다는 단점이 있습니다. 그러나 각 문제에 대해서 그린 함수를 한 번만 구해 놓는다면, 그 그린함수를 이용하여 일반적인 비제차 미분 방정식을 풀 수 있게 됩니다. 즉, 그린 함수만 안다면, 모든 문제를 풀 수 있는 것이죠.