물리학 (38) 썸네일형 리스트형 중심력장 하에서 입자의 운동 (2) : 태양계 행성의 운동 시뮬레이션 + 파이썬 코드 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/81 중심력장 하에서 입자의 운동 (1) : 수치 미분 방정식 해법을 이용하여 문제 풀기 + 파이썬 시뮬레 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/79 [고전역학 문제 풀이] 원형 빗면(콘, 깔때기)에서 구르는 입자의 운동 고전역학에서는 꼭 배워야 하는 혹은 풀이법을 알아야 하는 문제(주제)들이 있는 studyingrabbit.tistory.com 에서 중심력장 하에서 입자의 운동에 대해서 알아 보았습니다. 대표적인 중심력장 문제라 할 수 있는 케플러 문제, 거리의 거듭 거듭 제곱에 비례하는 중심력장 문제, 단조화 진동자 문제 등에 대해서 알아 다루어 보았습니다. 이번 포스팅에서는 실제로 케플러.. 여과percolation 이론을 컴퓨터를 이용하여 접근하기 여과 이론이 무엇인지 알아보기 전에 어쩌면(?) 일상생활에서도 겪을 수 있는 일화를 예시로 들어 보도록 하겠습니다. 위 그림은 체스판과 같은 격자를 나태낸 것 입니다. 격자의 작은 사각형에 흰색 혹은 검은색으로 색칠을 하였습니다. 기본 색깔이 흰색이라고 한다면, 일부분에 검은색을 칠했다고 할 수 있습니다. 이 격자의 아랫쪽에 시작이라고 쓰여진 곳에서 시작하여 도착이라고 쓰여진 반대편 쪽으로 가려고 합니다. 단, 격자에서 검은색 부분을 통해서만 이동할 수 있고, 각 위치를 기준으로 상-하-좌-우로만 움직일 수 있다고 하겠습니다. 시작점에서 부터 도착점까지 갈 수 있을까요? 답은 쉽습니다. 위 그림에서 붉은색으로 칠한 길을 따라가면 됩니다. 위 그림에서 조각(가장 작은 사각형)은 64개이며, 이 중에서 검은.. 시간에 따른 파동 함수의 변화 계산 하기 102 : 단조화 진동자와 결맞은 상태(coherent state) 지난 포스팅에 이어, 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 수치해적으로 풀어서 파동함수가 시간에 따라서 어떻게 변화하는지에 대해서 알아보겠습니다. 상자 속 입자 문제, 1차원 스케터링 문제 다음으로 학부 양자역학에서 많이 다루는 문제는 단조화 진동자(simple harmonic oscillator, 간단히 SHO 라고 하겠습니다) 문제 입니다. SHO의 해밀토니안은 $$H(p, x) = \frac{p^2}{2} + \frac{x^2}{2}$$ 와 같이 간단히 주어지고, $x, p$에 대해서 2차식 입니다. 위에서는 운동량과 위치를 적당히 스케일링하여 귀찮은 물리 상수를 모두 1로 만들었습니다. SHO는 양자역학 두 학기 과정 1학기 중반쯤에 배우게 되는 주제인데요, SHO는 고전역학에서 뿐 아니라 양자역학에.. 시간에 따른 파동 함수의 변화 계산 하기 101 : 상자 속 입자 문제와 1차원 스케터링 문제 슈뢰딩거 방정식 학부 물리학 전공 양자역학 과목에서는 주로 고전역학과 비교되는 양자역학의 특징, 양자역학의 형식적인(수학적인) 구조, 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식의 풀이법을 주로 배웁니다. 슈뢰딩거 방정식이라 하면, $$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}(x,t) = \hat{H}\Psi(x,t)$$ 를 의미하지만, 학부 양자역학의 대부분의 문제에서는 시간에 의존하지 않는 해밀토니안을 다루기 때문에, 시간에 의존하지 않는 슈뢰딩거 방정식인, $$\hat{H}\psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + V(x) \psi(x) = E\psi(x)$$ 를 슈뢰딩거 방정식으로 이해하고 문제를 풀기도 합니다. 학부.. 렌즈, 물방울에 의한 빛의 굴절 : 공간에 따라 굴절률이 변하는 상황에서 Eikonal 방정식 풀기 + 신기루 현상 설명 지난 포스팅에서 Eikonal 방정식에 대해서 알아 봤습니다. Eikonal 방정식은 공간에 따라 굴절률이 변할 때, 빛의 경로에 대한 방정식이었습니다. 페르마의 원리로 부터 오일러-라그랑쥬 방정식을 세울 수 있고, 오일러-라그랑쥬 방정식을 굴절률, 위치, 길이 매개화의 미분으로 표현한 식이 바로 Eikonal 방정식이었습니다. Eikonal 방정식은, 굴절률이 서로 다른 두 매질 사이에서 굴절에 대한 관계식인 스넬의 법칙의 일반화라고 할 수 있습니다. https://studyingrabbit.tistory.com/85 빛의 진행 경로와 페르마의 원리와 Eikonal(아이코널) 방정식 : 페르마의 원리로 부터 스넬의 법칙 페르마의 원리와 변분법 진공 공간에서 빛은 항상 일정한 속도 $c = 299,792.. 빛의 진행 경로와 페르마의 원리와 Eikonal(아이코널) 방정식 : 페르마의 원리로 부터 스넬의 법칙 유도와 수치해법으로 문제 풀기(파이썬 코드) 페르마의 원리와 변분법 진공 공간에서 빛은 항상 일정한 속도 $c = 299,792,458m/s$로 직선으로 나아갑니다. 그러나 진공이 아닌 빛을 매개할 수 있는 물질 안에서 빛이 나아갈 경우, 반사와 굴절등으로 인해 빛의 속력과 방향은 시시각각 바뀌게 됩니다. 이 때, "과연 빛은 어떤 경로로 진행하는가?"에 대한 질문이 자연스럽게 생기게 되고, 1600년대를 살아간 프랑스의 변호사이자 수학자이자인 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 이에 대한 매우 간단하면서도 강력한 답변을 주었습니다. 페르마에 따르면, 빛이 $A$라는 위치 $x_A$에서 $B$라는 위치 $x_B$로 전파할 때, $x_A$와 $x_B$ 사이에서 빛이 진행하는 경로는 $x_A$에서 시작하여 $x_B$로 끝나는 모든 경로.. 중심력장 하에서 입자의 운동 (1) : 수치 미분 방정식 해법을 이용하여 문제 풀기 + 파이썬 시뮬레이션 코드 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/79 [고전역학 문제 풀이] 원형 빗면(콘, 깔때기)에서 구르는 입자의 운동 고전역학에서는 꼭 배워야 하는 혹은 풀이법을 알아야 하는 문제(주제)들이 있는데, 그 중에서 하나는 이번 포스팅에서 알아 볼 원형 빗면에서 구르는 입자의 운동에 대한 문제 입니다. 위 그림 studyingrabbit.tistory.com 을 통하여 간략하게 중심력장 하에서 입자의 운동에 대해서 알아보았습니다. 지난 포스팅에서는 실제 시간에 따른 입자의 위치 $(r(t), \theta(t))$를 구하기 보다는 $r$에 대한 운동 방정식의 $V_{eff}(r)$의 개형을 통해 정성적인 입자의 움직임을 살펴보았습니다. 이번 포스팅에서는 지난 포스팅의 결과들을 .. 공전하는 두 천체가 만들어내는 평형점 : 라그랑주 점(Lagrange point) 천체물리학은 가장 역사가 깊은 과학의 분과 중 하나로, 뉴턴의 고전 역학의 정립 이후 큰 발전을 이루었습니다. 그 중에서 재미난 주제 중에 하나는 라그랑주 점(Lagrange point)인데, 라그랑주 점은 이를 발견한 프랑스의 수학자이자 물리학자인 조세프-루이르 라그랑주의 이름을 따서 불리고 있습니다. 라그랑주 점은 공전(원운동)하는 두 큰 천체가 만들어 내는 힘의 평형점 입니다. 단순히 이렇게만 설명하면, 매우 어려운데 실제로 예를들어서 설명하면 더 쉽습니다. 태양-지구-위성으로 구성된 시스템을 생각하겠습니다. 태양은 지구에 비해 질량이 무척이나 크기 때문에, 사실상 태양은 원점에 고정 돼 있고, 지구는 태양 주변을 1년에 한 바퀴씩 공전하고 있습니다. 그리고 지구의 중력장에 의해서 속박 돼 있는 위.. 이전 1 2 3 4 5 다음
