전체 글 (95) 썸네일형 리스트형 동역학계의 끌개attractor와 끌림 영역basin of attraction (1) : 개념 설명 동역학계dynamical system 동혁학계이란 시간에 따라 변화하는 상태를 기술하는 수학 혹은 물리학의 분야 입니다. 뉴턴의 운동 방정식에 따라서 입자가 공간상에서 움직이는 것(위치가 변화하는 것)은 동역학계의 가장 대표적이면서 가장 오래된 연구 주제 중 하나 입니다. 사실, 수학의 분야로의 동역학계는 물리학의 뉴턴의 방정식을 보다 추상적이고 체계적으로 공부하기 위해 탄생한 분야입니다. 좀 더 수학적으로 엄밀하게 정의하면(그러나 수학자들이 보기에는 엉성한), 동역학계는 (시간, 상태, 함수) 이 세 요소로 구성이 되는데, 시간은 말 그대로 시간이라 볼 수 있고, 상태는 시간에 따라 변화를 하는 대상이 입니다. 함수는 시간에 따라 상태가 어떻게 변화하는지를 결정합니다. 앞에서 예시로 들었던 운동 방정식.. [수학적 최적화] 경사 하강법Gradient Descent(혹은 Steepest Descent) 알아 보기 : (1) 기본 개념 지난 포스팅에서는 수학적 최적화의 한 방법인 시뮬레이션 담금질simulated anealling에 대해서 알아 보았습니다. 그리고 시뮬레이션 담금질을 활용하여 조합 최적화combinatorial optimization 문제의 대표적인 예인 외판원 문제travelling salesman problem(TSP)를 풀어 보았습니다. 생각해 보니, 수학적 최적화를 공부하고 활용할 때, 거의 처음 접하면서 가장 기본적인 방법인 경사 하강법gradient descept 방법에 대해서 다루지 않았습니다. 시뮬레이션 담금질을 설명하면서, 국소 최소점, 전역 최소점 같은 명확한 설명 없이 사용하였는데 이에 대한 명확한 정의와 국소 최소점을 피하려고 하는 이유 등에 대해서 설명을 하려면 경사 하강법에 대한 이해가 필요합니.. 중심력장 하에서 입자의 운동 (2) : 태양계 행성의 운동 시뮬레이션 + 파이썬 코드 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/81 중심력장 하에서 입자의 운동 (1) : 수치 미분 방정식 해법을 이용하여 문제 풀기 + 파이썬 시뮬레 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/79 [고전역학 문제 풀이] 원형 빗면(콘, 깔때기)에서 구르는 입자의 운동 고전역학에서는 꼭 배워야 하는 혹은 풀이법을 알아야 하는 문제(주제)들이 있는 studyingrabbit.tistory.com 에서 중심력장 하에서 입자의 운동에 대해서 알아 보았습니다. 대표적인 중심력장 문제라 할 수 있는 케플러 문제, 거리의 거듭 거듭 제곱에 비례하는 중심력장 문제, 단조화 진동자 문제 등에 대해서 알아 다루어 보았습니다. 이번 포스팅에서는 실제로 케플러.. 타원 상의 한 점과 타원 밖의 한 점 사이의 거리 구하기 이번 포스팅은 다소 간단한 내용을 담고 있는 포스팅인데, 제가 실제로 하고 있는 없무와 약간 관련성이 있기 때문에 하는 포스팅입니다. 문제는 타원과 타워 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 타원과 점 사이의 거리를 구하는 것 입니다. 문제를 최대한 간단하게 하기 위해서 2차원 공간을 생각하겠습니다. 2차원 공간에서 타원의 방정식은 $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 로 주어집니다. 타원 위의 일반적인 점을 $\vec{x} = (x, y)$라 놓겠습니다. 타원 밖의 한 점의 좌표를 $\vec{p} = (p, q)$ 라고 하겠습니다. 이 점은 타원의 밖에 있습니다. 일반화를 잃지 않고 타원과 타원 밖의 점의 배치를 위 그림과 같이 놓을 수 있습니다. 타원의 중심이 원점이 .. 여과percolation 이론을 컴퓨터를 이용하여 접근하기 여과 이론이 무엇인지 알아보기 전에 어쩌면(?) 일상생활에서도 겪을 수 있는 일화를 예시로 들어 보도록 하겠습니다. 위 그림은 체스판과 같은 격자를 나태낸 것 입니다. 격자의 작은 사각형에 흰색 혹은 검은색으로 색칠을 하였습니다. 기본 색깔이 흰색이라고 한다면, 일부분에 검은색을 칠했다고 할 수 있습니다. 이 격자의 아랫쪽에 시작이라고 쓰여진 곳에서 시작하여 도착이라고 쓰여진 반대편 쪽으로 가려고 합니다. 단, 격자에서 검은색 부분을 통해서만 이동할 수 있고, 각 위치를 기준으로 상-하-좌-우로만 움직일 수 있다고 하겠습니다. 시작점에서 부터 도착점까지 갈 수 있을까요? 답은 쉽습니다. 위 그림에서 붉은색으로 칠한 길을 따라가면 됩니다. 위 그림에서 조각(가장 작은 사각형)은 64개이며, 이 중에서 검은.. [수학적 최적화] 시뮬레이션 담금질 Simulated Annealing을 활용한 외판원 문제 Travelling salesman problem 문제 풀기 지난 포스팅에서 생성한 시뮬레이션 담금질 프로그램을 활용하여, 대표적인 조합 최적화combinatorial optimization 문제인 외판원 문제travelling salesman problem을 풀어 보도록 하겠습니다. 시뮬레이션 담금질에 대해서 설명한 지난 포스팅을 아직 읽지 않으신 분이라면, 이전 포스팅을 먼저 읽고 이 포스팅을 읽으시길 바랍니다. https://studyingrabbit.tistory.com/100 [수학적 최적화] 시뮬레이션 담금질 Simulated Annealing의 이해와 파이썬 코드 수학적 최적화Mathematical optimization 수학적 최적화는 최적 조건을 만족하는 정의역의 원소를 찾는 방법 (혹은 그에 대한 분야) 입니다. 이렇게만 설명하면 약간 불 명확한.. [수학적 최적화] 시뮬레이션 담금질 Simulated Annealing의 이해와 파이썬 코드 수학적 최적화Mathematical optimization 수학적 최적화는 최적 조건을 만족하는 정의역의 원소를 찾는 방법 (혹은 그에 대한 분야) 입니다. 이렇게만 설명하면 약간 불 명확한데 아래와 같이 정의하면, 그 의미가 분명해 집니다. 정의역을 $A$로 하는 함수 $f : A \rightarrow \mathbb{R}$ 가 주어졌을 때, 임의의 $x \in A$에서 $f(x_{min}) \le f(x)$를 만족하는 $x_{min}$를 찾는 방법 위에서 함수 $f$를 주로 목적 함수Objective function 이라고 부릅니다. 정의역 집합 $A$는 실공간일 수 도 있고, 혹은 임의의 집합일 수 도 있습니다. 위 정의에서는 목적 함수가 최소값이 되는 $x_{min}$를 찾은 것을 표현하였는데, 경.. 포물선의 반사의 성질 : 축에 나란한 방향으로 입사한 빛은 반드시 포물선의 초점을 지난다 이번 포스팅에서는 포물선의 광학적 성질 중 하나인 "포물선의 축에 나란한 방향으로 입사한 빛은 포물선에 반사 후, 포물선의 초점을 지난다"를 증명해 보도록 하겠습니다. 포물선의 방정식 우선 포물선의 정의와 초점의 정의를 돌이켜 보도록 하겠습니다. 포물선은 "한 점과 그 점을 지나지 않는 한 직선에 이르는 거리가 같은 그 점과 그 직선을 포함하는 평면 위의 점의 자취" 입니다. 위 정의에서 한 점은 $F$이고 (이 점의 좌표를 (0, f)라 하겠습니다.), 이 점을 지나지 않는 직선은 $l$ (포물선의 정의에 따라 이 선의 $y$ 좌표는 $-f$ 입니다) 입니다. 이 직선을 보통 "준선" 이라고도 합니다. 포물선 위의 한 점을 $P$라고 한다면, 포물선의 정의에 따라서, 선분 $PF$의 길이와 선분 $Pl.. 이전 1 2 3 4 ··· 12 다음
