지난 몇 번의 포스팅을 통해서 초기 양자역학의 발전 과정을 간략히나마 살펴보았습니다. 그 중에서 하이젠베르크-보른-요르당에 의해서 정립된 행렬역학은 최초의 "현대적인" 양자역학의 방법론으로, 이를 통해서 단조화진동자, 수소원자의 에너지 준위를 계산할 수 있었습니다. 거의 비슷한 시기에 에르빈 슈뢰딩거는 편미분방정식이라는 하이젠베르크-보른-요르당과는 전혀 다른 방법으로 양자역학 세계를 기술하였고, 슈뢰딩거 역시 그의 방정식을 통해서 단조화진동자, 수소원자의 에너지 준위과 같은 개념적으로도, 현실적으로도 매우 중요한 문제를 풀었습니다.
행렬역학과 파동역학, 두 방법 중 현대에는 거의 대부분의, 아니 모든, 경우에 파동역학의 방법으로 양자역학 문제를 풉니다. 즉, 특정한 퍼텐셜 하에 입자의 에너지 준위나 그와 관련된 물리량을 계산하는 경우, 행렬역학의 방법으로 문제를 푸는 경우는 없고, 모든 경우 슈뢰딩거 방정식을 풀고, 방정식의 해인 고유값과 고유함수(파동함수)를 이용하여 필요한 계산을 합니다. 그 이유는 행렬역학의 방법을 이용해서는 문제를 풀기가 매우 어렵기 때문인데요, 볼프강 파울리가 행렬역학의 방법을 이용하여 수소원자의 에너지 준위를 풀었던 방식을 살펴 보면 이에 동의하실 것 입니다.
학부 과정의 양자역학 교과서에서 행렬역학의 방법으로, 즉 위치 행렬과 운동량 행렬의 순수한 교환 관계의 법칙만을 이용하여 주어진 해밀토니안의 고유값을 계산 하는 방법, 문제를 푸는 경우는 단조화진동자의 경우 밖에 없습니다. 단조화진동자의 경우에는 위치와 운동량 연산자
이번 포스팅에서는 가장 간단한 양자역학 문제라 할 수 있는 무한 포텐셜 우물 문제를 행렬역학의 방법을 통해서 풀어 보도록 하겠습니다. 그리고 이를 통해서 행렬역학의 방법을 통해서 양자역학 문제를 푸는거이 무척이나 어렵다는것을 한 번 느껴 보도록 하겠습니다.
이 글은 논문 Matrix mechanics of the infinite square well and the equivalence proofs of Schrödinger
and von Neumann, American Journal of Physics 82, 583 (2014) 을 참고하였습니다.
문제의 기술
무한 포텐셜 우물 문제에서 해밀토니안은
로 부터,
가 되고,
입니다.
위에서 설명한 모든 수식을 모두 만족시키는 행렬
순수하게 위 연립 방정식을 푸는 방법을 통해
슈뢰딩거 방정식으로 문제 풀기
행렬역학으로 문제를 푸는게 매우 어려워 보이니, 파동역학의 방법론(즉 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것)을 채택해 보겠습니다. 무한 우물 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 것은 학부 양자역학 거의 맨 첫 부분에 나오는 문제로, 이 포스팅을 여기까지 이해하신 분이라면 풀 수 있는 문제입니다. 간단하게 답만 적으면,
입니다. 역시 행렬역하게 비해 파동역학은 쉽습니다.
파동역학의 결과로 부터 행렬역학에서 구하고자 하는 행렬
와 같이 정의한다면,
행렬의 성분
별로 특별한 것은 없고, 단순히 계산을 하면 됩니다. 실제로 계산을 해 보면
가 됨을 확인할 수 있습니다. 이런 계산은 양자역학 연습문제나 시험문제에서 한 번 쯤 해봤을거라 생각합니다. 위와 같은
행렬
와 같습니다. 이 중에서 특히
으로 부터
이고, 마지막 항에서
을 보일 수 있습니다.
또한 실제로 조금 만 계산을 해 본다면,
논문의 다른 내용
앞서서, 이 포스팅은 논문 Matrix mechanics of the infinite square well and the equivalence proofs of Schrödinger
and von Neumann, American Journal of Physics 82, 583 (2014) 을 참고하였다고 했는데요, 이 논문의 후반부에서는 행렬역학과 파동역학이 수학적으로 동치라는 것에 대한 슈뢰딩거와 폰 노이만의 논의를 설명합니다. 슈뢰딩거의 논의는 지난 포스팅에서 설명한바 있고, 폰 노이만의 논의에 대해서는 지금까지 언급한 바 없는데요, 이에 대해서는 다른 포스팅에서 좀 더 자세하게 다루도록 하겠습니다.
결론
무한 포텐셜 우물 문제를 행렬역학의 방법으로 풀어 보도록 "시도"를 해보았습니다. 문제의 기술 부분에서 설명한 여러개의 방정식을 모두 만족시키는 연립 방정식을 푸는것이 행렬역학으로 문제를 푸는 것인데, 매우 어려운것 같습니다. 하지만 같은 문제를 파동역학의 방법으로 풀고, 즉 자명한 경계조건이 도입된 슈뢰딩거 방정식을 풀고, 슈뢰딩거가 보인 파동역학과 행렬역학의 동일성을 설명하는 방식,
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