수학 (29) 썸네일형 리스트형 무작위 걸음(랜덤 워크 random walk) 103 : 주방정식(Master equation)을 이용한 시간에 따른 랜덤 워크의 확률 밀도 함수 계산 지난 포스팅에서 랜덤 워크를 정의하고, 앙상블 평균의 개념을 도입하여 특정한 값을 정의하고 계산하는 방법에 대해서 알아 보았습니다. 또한 확률 밀도 함수를 정의하고, 확률 밀도 함수로 부터 경로의 함수로 주어지는 특정한 함수의 앙상블 평균을 구하는 방법, 또한 확률 밀도 함수의 스텝에 따른 변화를 기술해 주는 주방정식에 대해서도 설명하였습니다. 지난 포스팅을 읽지 않으신 분이라면, 지난 포스팅을 먼저 읽고 이 다음 내용을 읽으시길 권장합니다. https://studyingrabbit.tistory.com/89 무작위 걸음(랜덤 워크 random walk) 101 : 파이썬 프로그램으로 구현 랜덤 워크 무작위 걸음(랜덤 워크 Random Walk)는 대표적인 확률과정(stochastic process)의 .. 무작위 걸음(랜덤 워크 random walk) 102 : 앙상블 평균과 몬테 카를로 시뮬레이션 지난 포스팅 https://studyingrabbit.tistory.com/89 무작위 걸음(랜덤 워크 random walk) 101 : 파이썬 프로그램으로 구현 랜덤 워크 무작위 걸음(랜덤 워크 Random Walk)는 대표적인 확률과정(stochastic process)의 예시로, 연속적인 무작위 수에 의해서 결정되는 확률 공간에서의 "움직임의 경로"에 대해서 다룹니다. (위 첫 studyingrabbit.tistory.com 에서 랜덤 워크 (무작위 걸음)이 무엇이며, 랜덤 워크의 매우 기본적인 성질에 대해서 알아보았습니다. $D$차원 정수 격자 위에서 랜덤 워크는 현재 위치에서 임의의 축 방향으로 한 칸 만큼 이동할 수 있으며, 이동하는 방향은 확률적으로 주어졌습니다. 수 많은 랜덤 워크를 구현하.. 무작위 걸음(랜덤 워크 random walk) 101 : 파이썬 프로그램으로 구현 랜덤 워크 무작위 걸음(랜덤 워크 Random Walk)는 대표적인 확률과정(stochastic process)의 예시로, 연속적인 무작위 수에 의해서 결정되는 확률 공간에서의 "움직임의 경로"에 대해서 다룹니다. (위 첫 문장을 쓰고 지우고를 여러번 반복하였는데) 무작위 걸음은 이에 대해서 길게 설명하는 것 보다는 구체적인 예시를 들어 설명하는 편이 더 좋은 것 같습니다. 또한, 이후 부터는 "무작위 걸음"이라는 국문 번역보다는 그냥 "랜덤 워크"로 음역을 하도록 하겠습니다. 모든 사람이 그냥 "랜덤 워크"라고 하지 "무작위 걸음"이라고는 하지 않으니까요. 1차원 정수 격자 위에서의 랜덤 워크 가장 간단한 1차원 정수 공간에서의 랜덤 워크를 생각하겠습니다. 좁은 의미에서 랜덤 워크라고 하면 이 경우를 .. 공간에 따라 굴절률이 달라지는 매질에서 빛의 경로의 일반화 : 측지선(geodesic)과 측지선 방정식(geodesic equation) 페르마의 원리 위치에 따라 굴절률이 바뀌는 물질 속에서 빛의 진행 경로에 대해서 다룬 지난 두 번의 포스팅에서 빛의 진행 경로는 "두 점을 잇는 최단 시간 곡선" 이라는 페르마이 원리로 부터 스넬의 굴절 법칙, 그리고 보다 일반적인 굴절법칙이라고 할 수 있는 Eikonal 방정식에 대해서 알아 보았습니다. 페르마의 원리는 일반적인 변분법 문제로 표현이 되는데, $$0 = \delta T = \delta \int_{\vec{x}_A}^{\vec{x}_B} n(\vec{x}) ds$$ 입니다. 여기서 $n(\vec{x})ds$를 흔히 광경로 길이(optical path length) 라고 합니다. $ds$면 단순히 길이(length)인데, 굴절률이 곱해졌기 때문에 광경로 길이 라고 합니다. 이 포스팅에서는 .. 159종의 띠부띠부씰을 다 모으려면 포켓몬빵 몇 개를 사야 할까? 쿠폰 콜렉터 문제 포켓몬 띠부띠부씰이 유행이라고 합니다. 뉴스에서도 소식이 나오던데, 그렇다면 끝물인것 같기도하고... 어쨌든 1,500원짜리 빵에 하나 씩 들어있는 띠부띠부씰을 모두 모우기 위해서 여러 가게를 돌아다니는 사람들이 많다고 합니다. 이번 포스팅에서는 159종의 띠부띠부씰를 다 모우기 위해서는 몇 개의 포켓몬 빵을 사야하는지를 알아 보도록 하겠습니다. (이 문제는 쿠폰 콜렉터 문제 coupon collector's problem으로 확률과 통계 분야에서 유명한 문제입니다) 실제로는 모든 캐릭터가 나올 확률이 $\frac{1}{159}$로 동등한 것이 아니라, 잘 안오는 캐릭터는 잘 안나온다고 하는데, 각 캐릭터별 확률을 알 수 없기 때문에 공정하게 $\frac{1}{159}$ 이라고 가정하겠습니다. 문제를 풀.. 우도 함수(가능도 likelihood function)의 이해 우도 함수(가능도 함수로 번역되기도 하고, 영어로는 likelihood function 이라 합니다)는 실현된 데이터(혹은 관찰된 데이터 observed data)로 부터 특정 통계 모델의 적합성을 확인하는데 주로 이용됩니다. 실현된 데이터를 $y$라고 하고, 특정 통계 모델을 $\theta$라고 표현했을 때, 우도 함수는 $P(y | \theta)$로 정의되는 값 입니다. 이렇게만 쓰면 우도 함수에 대해서 처음 접하신 분이라면 이해가 쉽지 않을 텐데, 가장 간단한 예시를 통해서 우도 함수가 무엇인지, 어떻게 계산을 하는지, 그리고 어떻게 이용될 수 있는지에 대해서 알아 보도록 하겠습니다. 우리가 던진 동전은 어떤 "모양"일까? 동전 던지기를 해서 앞면 혹은 뒷면이 나오는 횟수를 기록했다고 하겠습니다. .. 신개선(Involute cuve, 인벌루트 곡선)의 정의와 파이썬 프로그래밍을 통해 그려보기 최근에, 블로그 댓글을 달아주신 독자분을 통해서 신개선이라는 것을 처음 알게 되었습니다. 궁금해서 약간 더 찾아봤는데, 순수하게 수학적인 연구의 대상이 되기도 하지만, 주로 기어 제작쪽 어플리케이션에 많이 활용된다는 것을 알게 되었습니다. 이번 포스팅에서는 신개선에 대해서 알아보고, 임의의 곡선에 대한 신개선이 어떻게 정의되는지, 그리고 그것을 실제로 구하기(그리기) 위한 파이썬 프로그래밍을 해 보도록 하겠습니다. 인터넷 검색을 하니 신개선이라는 우리말(한자어)로 번역한 단어 보다는 영어 단어를 그대로 음역한 "인벌루트" 라는 말을 더 많이 사용하는 것 같습니다. 그래서 이번 포스팅에서도 그냥 인벌루트 혹은 인벌루트 커브(곡선)이라고 칭하도록 하겠습니다. 한글 위키백과의 신개선 페이지에서 인벌루트 곡선의.. 수학적 최적화 수치해법으로 풀어보는 변분법 문제 : 최단 하강 곡선 변분법은 주어진 범함수의 값을 극대 혹은 극소로 만드는 범함수의 입력 변수인 함수를 찾는 방법입니다. 조금 형식적으로 쓴다면, 함수 $$f(x) : x \ \in [a, b] \rightarrow y \in V \subset \mathbb{R} $$ 가 주어졌을 때, 어떠한 범함수 $J[f(x)]$에 대하여 $J[f(x)]$가 극대 혹은 극소를 갖게 하는 $f(x)$를 찾는 것 입니다. 보통의 경우 극소 더 정확히는 최소값을 찾기 때문에, 앞으로는 별다른 이유가 없다면 그냥 최소값을 찾는 문제를 생각하도록 하겠습니다. 구체적으로 범함수 $J[f(x)]$가 $f(x)$와 $f'(x)$의 함수 $L\big( f(x), f'(x) \big)$의 적분으로 주어졌을 때, 즉 $$J[f(x)] = \int_{a}^.. 이전 1 2 3 4 다음 목록 더보기
