
포켓몬 띠부띠부씰이 유행이라고 합니다. 뉴스에서도 소식이 나오던데, 그렇다면 끝물인것 같기도하고... 어쨌든 1,500원짜리 빵에 하나 씩 들어있는 띠부띠부씰을 모두 모우기 위해서 여러 가게를 돌아다니는 사람들이 많다고 합니다. 이번 포스팅에서는 159종의 띠부띠부씰를 다 모우기 위해서는 몇 개의 포켓몬 빵을 사야하는지를 알아 보도록 하겠습니다. (이 문제는 쿠폰 콜렉터 문제 coupon collector's problem으로 확률과 통계 분야에서 유명한 문제입니다)
실제로는 모든 캐릭터가 나올 확률이
문제를 풀어 보도록 하겠습니다. 씰의 총 갯수를
첫 번째 빵을 까도록 하겠습니다. 첫 번째 빵을 까기 전에 우리가 갖고 있던 씰은 하나도 없기 때문에, 첫 번째 빵에서 나오는 씰은 무조건 새로운 씰이 됩니다.
두 번째 방을 까도록 하겠습니다. 두 번째 빵에서 나온 씰이 우리가 갖고 있는 씰과 서로 다를 확률은
세 번째 빵을 까도록 하겠습니다. 아니 정확히는 두개의 서로 다른 쿠폰을 확보한 이후에 까는 빵입니다. 새롭게 깐 빵에서 지금까지 확보한 씰과 서로 다른 씰이 나올 확률은
위 과정을 계속 반복 하면 됩니다.
만일 150개의 서로 다른 씰을 확보한 경우, 이와는 다른 씰이 나올 확률은
위 과정을 수학적으로 표현하면,
즉, 평균적으로 봤을 때 898개의 빵을 사야 159종의 씰을 모두 모울 수 있습니다. 물론 운이 좋다면 800개 정도만 샀을 때, 159개를 모두 모울 수 있을 것이고, 반대로 운이 나쁘다면 1,000개 쯤 사야 159개를 모두 모울 수 있을 것 입니다.
일반적으로 총
와 같습니다. 여기서
898개를 산다면 159종의 씰을 다 모울 수 있다고 했는데, 정말 그럴까요? 898이라는 숫자는 단순히 기대값이기 때문에, 898개이 빵을 산다고 해서 159종을 다 모울 수 있는 것은 아닙니다. 그래서 이번에는 반대로

처음에 100개의 빵에서 (평균적으로) 74개의 서로 다른 씰을 모울 수 있습니다. 그 다음 100개의 빵에서는 약 40개의 서로 다른 씰을 모울 수 있습니다. 당연히 그래프의 개형은 위와 같이 위로 볼록한 개형이 됩니다.
이번에는 빵의 갯수

500개 까지는 거의 확률이 0이고, 600개 정도를 사야 0이 아닌 확률을 얻습니다. 159종을 모두 모울 수 있는 빵의 갯수의 기대값이 898이라고 했는데, 898개를 산다고 하더라도 159종의 씰을 모두 얻을 수 있는 확률은 약 50%정도 밖에 되지 않습니다. 안전하게 하기 위해서는 1,000개 이상을 사야 합니다.
1,000개의 빵을 산다면 약 86%의 확률로 159종의 씰을 모두 모울 수 있습니다. 왠만한 똥손이 아니고서는 1,000개 정도면 충분한 것 같습니다. 빵 하나에 1,500원이니 150만원이 있으면 159종을 모두 모울 수 있는 샘이 됩니다. (1,000개를 샀는데 159종을 얻지 못할 확률도 14%나 됩니다. 사실 무시할 수준은 아닙니다)
앞에서 159종의 씰 중 특정한 씰이 나올 확률을 그냥 균등하게
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