수학 (29) 썸네일형 리스트형 가우스 구적법 (Gauss Quadrature 수치 적분법 수치 적분(Numerical integration)은 컴퓨터 알고리듬을 이용하여 해석적으로 적분하기 어려운 피적분 함수를 적분하는 방법입니다. 예를 들어, $$\int_{a}^{b} x^2 + 2x +3 dx$$ 와 같이 다항함수를 구간 $[a,b]$에서 적분하기 위해서는 미적분학 기본정리를 이용하면 됩니다. 피적분 함수인 $f(x) = x^2 + 2x +3$의 부정적분 $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x + C$를 구한다음 $F(b) - F(a)$를 계산하면 이 값은 위 적분의 값이 됩니다. 하지만, $$\int_{a}^{b} \sin(x^2) \log\Big|\frac{1}{x^2-\cos x}\Big| dx$$ 와 같이 피적분함수가 매우 복잡한 경우에는 부정적분.. 사이클로이드(cycloid) 곡선만이 유일한 등시 곡선(Tautochrone curve)일까? 사이클로이드 곡선은 (1)최단하강공선 임과 동시에 (2)등시 곡선 입니다. 지난 포스팅에서 사이클로이드가 등시 곡선임을 증명하는 방법을 소개했습니다. https://studyingrabbit.tistory.com/9 [고전역학-2]사이클로이드가 등시 곡선 임을 증명하는 가장 우아한(?) 방법 사이클로이드(Cycloid)는 직선 위로 원을 굴렸을 때, 원의 원주 위에 있는 한 점이 그리는 자취 입니다. 사이클로이드는 굉장히 재미난 특징을 가지는 곡선인데, 그 중에서도 유명한 것은 (1) 사이 studyingrabbit.tistory.com 위 포스팅에서는 곡면상의 질점의 위치를 사이클로이드의 가장 낮읒 지점으로 부터의 거리로 기술한다면, 시스템을 기술하는 라그랑지안은 단조화진동자(harmonic oscil.. 드럼의 모양을 들을 수 있을까? (Can one hear the shape of a drum?) : (1) 2차원 직사각형 드럼에 대한 예시 폴란드계 미국인 수학자 마크 카츠Mark Kac는 1966년 American Mathematical Monthly를 통해서 꽤나 황당하면서도 의미 이는 질문을 던집니다. 논문의 제목은 질문의 내용과 같은데 바로 (Can one hear the shape of a drum?) 입니다. 드럼의 모양을 "들을" 수 있다니? 매우 황당한 질문입니다. 모양을 눈으로 봐야하는 것이지, 귀로 듣는것이 아니니까요. 마크 카츠는 마음의 눈으로 보고 마음의 귀로 듣는다는 기인이거나 미치광이가 아니기 때문에, 그의 질문은 말도 안되는 이상한 질문은 당연히 아니었습니다. 카츠는 논문을 통하여 해석학의 분과 중 하나인 스펙트럼 이론(Spectral theory)의 질문을 던진 것 입니다. https://www.maa.org/s.. 주성분분석(PCA : Principal Component Analysis) (2) - 선형대수학의 개념을 활용하여 공분산행렬과 주축 벡터를 이해하기 https://studyingrabbit.tistory.com/42 주성분분석(PCA : Principal Component Analysis) (1) - 분포의 특성을 가장 뚜렷하게 표현하는 좌표 축의 방 PCA(주성분분석, Principle Compoent Analysis)는 특성 공간(feature space)상에 존재하는 데이터의 분포를 활용하여 분포의 특성을 가장 뚜렷하게 표현하는 주축 벡터(principal vector 혹은 principal axis)를.. studyingrabbit.tistory.com 지난 포스팅에서 주성분분석의 기본적인 개념과 주축 벡터를 구하는 방법에 대해서 알아 보았습니다. 요약하면 주축 벡터는 데이터의 분포 특성을 가장 뚜렷하게 표현하는 특성 공간의 좌표축의 방향이라.. 주성분분석(PCA : Principal Component Analysis) (1) - 분포의 특성을 가장 뚜렷하게 표현하는 좌표 축의 방향 PCA(주성분분석, Principle Compoent Analysis)는 특성 공간(feature space)상에 존재하는 데이터의 분포를 활용하여 분포의 특성을 가장 뚜렷하게 표현하는 주축 벡터(principal vector 혹은 principal axis)를 찾고, 이 주축 벡터를 활용하여 데이터를 분석하는 방법을 뜻합니다. 문장이 길어서 PCA에 대해서 처음 접하는 분이라면 이해가 어려울 수 도 있는데, 여기서 가장 중요한 개념은 "데이터의 분포를 활용하여 분포의 특성을 가장 뚜렷하게 표현하는 주축 벡터"이고, 이 개념을 이해한다면 PCA를 이해했다고 볼 수 있습니다. 주축 벡터에 대한 수학적 정의를 하기 앞서, 간단한 예를 들어서 주축 벡터의 개념을 설명해 보도록 하겠습니다. 다양한 신체의 3D .. 유한요소법(Finite Element Method)으로 미분 방정식(헬름홀츠 방정식) 풀기 미분방정식은 응용수학, 물리학, 공학에서 가장 많이 나오는 수학적 문제입니다. 특히나 물리학과 공학에서는 미분 방정식이 거의 전부라고 해도 좋을 정도로 미분 방정식은 지배적인 문제입니다. 자연을 기술하는 거의 모든 방정식이 미분 방정식의 형태로 쓰여질 수 있기 때문에, 물리학과 공학에서 미분 방정식을 자주 볼 수 있습니다. 예를들면, 고전 역학을 기술하는 뉴턴의 운동 방정식, 전자기 현상을 기술하는 맥스웰 방정식, 열과 관련된 현상을 설명하는 열 방정식 등이 모두 미분 방정식의 형태로 주어집니다. 파동 방정식, 나비에-스토크스 방정식은 뉴턴의 운동 방정식으로 부터 유도된 방정식이기에 당연히 미분 방정식입니다. 따라서 자연 현상을 해석하고 예측하기 위해서는 상황에 맞는 미분 방정식을 선택하고, 경계 조건을.. 2차원 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation) 풀기 : 고유 함수의 개형, 고유 진동수 및 고유 진동수의 분포 헬름홀츠 방정식 헬름홀츠 방정식은 $$( \nabla^2 + k^2 )f(\vec{r}) = 0$$ 인 편미분 방정식 입니다. 헬름홀츠 방정식은 주로 물리학의 응용에서 자주 나오곤 하는데요, 파동 방정식(wave equation) 혹은 열 방정식(heat equation)의 공간 변수가 만족해야 하는 편미분 방정식 입니다. 파동 방정식으로 부터 헬름흘츠 방정식이 나오는 과정을 유도할 때는 주로 변수분리법을 사용하는데요, 파동 방정식 $$\Big(\nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t ^2}\Big) \psi(\vec{r}, t) = 0$$ 에서 해 $\psi(\vec{r}, t)$를 공간 변수의 함수와 시간 변수의 함수의 곱으로 쓴다면, $\ps.. 메트로폴리스-헤이스팅스 알고리듬을 활용한 분포 생성 및 이를 이용한 몬테 카를로 적분 기각 샘플링 기반 몬테 카를로 적분이 부정확한 예시 지난 시간에 소개한 기각 샘플링 방법을 통해서 $$A = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$ 을 해 보도록 하겠습니다. $f(x) =x^2 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$라 할 때, $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ 는 우리가 잘 알고 있는 표준 정규 분포의 함수 이므로, 편의상 $N(x)$라고 표시한다면, $f(x) = x^2 N(x)$ 가 됩니다. 적분의 상한과 하한은 $\infty, -\infty$인데 무한대를 다루기는 어려우니 상한과 하한을 각각 20, -20 정.. 이전 1 2 3 4 다음 목록 더보기
