사이클로이드(cycloid) 곡선만이 유일한 등시 곡선(Tautochrone curve)일까?

사이클로이드 곡선은 (1)최단하강공선 임과 동시에 (2)등시 곡선 입니다. 지난 포스팅에서 사이클로이드가 등시 곡선임을 증명하는 방법을 소개했습니다. 

https://studyingrabbit.tistory.com/9

[고전역학-2]사이클로이드가 등시 곡선 임을 증명하는 가장 우아한(?) 방법

위 포스팅에서는 곡면상의 질점의 위치를 사이클로이드의 가장 낮읒 지점으로 부터의 거리로 기술한다면, 시스템을 기술하는 라그랑지안은 단조화진동자(harmonic oscillator)의 라그랑지안과 같아진다는 성질로부터 사이클로이드가 등시 곡선임을 증명하였습니다. 

 

자연스러운 의문이 생기는데요, 과연 사이클로이드 곡선만이 유일한 등시 곡선일까요? 즉, 사이클로이드가 아니지만 등시 곡선이 되는 곡선이 존재할 수 있는가?가 이번 포스팅의 질문입니다. 성격이 급한 독자분들을 위해 우선 답을 알려드린다면

 

(1) 초기 위치에서 곡선의 가장 낮은 지점까지 도달하는데 걸리는 시간만 생각한다면 (이건 일종의 편도 시간이라고 볼 수 있습니다)

--> 등시 곡선은 사이클로이드가 유일

(2) 초기 위치에서 반대편 가장 높은 지점까지 도착한 후, 다시 초기 위치로 돌아오는데 걸리는 시간을 생각한다면 (이건 일종의 왕복 시간이라고 볼 수 있습니다)

--> 특정한 조건을 만족하기만 하면 등시 곡선이 됨, 즉 등시 곡선은 무한히 존재함

 

입니다. 위에서 설명한대로 (2)와 같이 한 주기의 운동을 완전히 마치는 시간을 고려한다면, 등시 곡선의 갯수는 무한히 많습니다. 이제 차근히 위 (1)과 (2)의 결론을 유도해 보도록 하겠습니다. 

 

이 포스팅은 Pedro Terra 등의 논문 Is the tauchrone curve unique? 를 참고하였습니다. 

 

1차원 포텐셜 우물에 있는 입자의 왕복 운동

1차원 포텐셜 우물 안에 갖혀 있는 질점을 생각해 보도록 하겠습니다. 입자의 역학적 에너지가 $E$로 주어진다면, 입자의 $x$ 좌표는 

$$E = U(x_L) = U(x_R)$$

을 만족하는 $x_L, x_R$에 대해서 $x_L \le x \le x_R$ 가 됩니다. 그리고 임의의 점 $x_1$에서 운동 에너지는 

$$T(x_1) = E - U(x_1)$$

이 되고, 따라서 속도는 

$$v(x_1) = \sqrt{\frac{2(E-U(x_1))}{m}}$$

로 주어집니다.

 

이로부터 역학적 에너지가 $E$인 물체가 $x=x_L$에서 초기 속도 $v(x_L) = 0$로 놓여진다면 $x_R$까지 갔다가 다시 $x_L$로 되돌아 오는데 걸리는 시간은

$$T(E) = 2\int_{x_L}^{x_R} \frac{1}{v(x)} dx = \sqrt{2m} \int_{x_L}^{x_R} \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$$

가 됨을 얻을 수 있습니다.  

 

위 예지 이미지의 위치 에너지와 같이 $x>0$인 영역에서 $U(x)$가 증가 함수 이고, $x<0$인 영역에서 $U(x)$가 감소 함수라면, 주어진 $E$에 대해서 $x_L, x_R$은 각각 $E$의 함수로 주어지게 되고 형식적으로 $x_L = U^{-1}_L(E), x_R = U^{-1}_R(E)$로 쓸 수 있습니다. 구체적인 $U(x)$의 개형에 따라서 $x_L(E), x_R(E)$가 주어집니다. 이 값을 이용하여 위 $T(E)$를 다시 쓰면, 

$$T(E) = \int_{x_L}^{x_R} \frac{1}{v(x)} dx = \sqrt{2m} \int_{U^{-1}_L(E)}^{U^{-1}_R(E)} \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$$

와 같습니다. 즉, 위치에 따른 위치 에너지의 함수 $U(x)$에 대해서 역학적 에너지 $E$가 주어진다면, 입자의 왕복 주기 $T$를 구할 수 있습니다.

 

주기 $T(E)$를 알고 있을 때, 위치 에너지 $U(x)$를 알아 낼 수 있을까?

 

기본적으로 대부분의 역학 문제는 정방향 문제(forward problem)입니다. 즉, 입자에 가해지는 힘(혹은 위치 에너지)를 알고 있을 때, 시간에 따른 입자의 위치를 구하게 됩니다. 해석적이든 혹은 수치적이든 $F=ma$를 풀면 됩니다. 반대로 가끔씩은 역방향 문제(간단히 역문제, inverse problem)을 풀기도 합니다. 말 그대로 역문제는 입자의 운동 결과를 알고 있을 때, 이러한 입자의 운동을 야기하는 위치 에너지를 구하는 문제 입니다. 산란(스케터링 scattering)은 대표적인 역문제인데, 스케터링의 결과를 통해서 이러한 결과를 야기한 상호작용(interaction)을 찾는 문제입니다. 이를 좀 더 일반적으로 표현하면, 원인을 알고 있을 때 결과를 구하는 문제는 정방향 문제, 결과를 알고 있을 때 그러한 결과를 낳는 원인을 구하는 문제가 역문제입니다. 

 

이번 포스팅의 주제와 관련된 역문제는 역학적 에너지 $E$에 따른 왕복 운동의 주기 $T(E)$를 알고 있을 때, 이러한 운동을 가능케한 위치 에너지 $U(x)$를 구하는 것 입니다. 바로 앞 섹션에서는 $U(x)$로 부터 $T(E)$를 구했는데, 그 과정의 반대입니다. 위에서 구한 $T(E)$식을 조금 다르게 써 볼 필요가 있는데, 앞서서 가정하고 논의한 것 처럼, $x>0$인 영역에서 $U(x)$가 증가 함수 이고, $x<0$인 영역에서 $U(x)$가 감소 함수라면, $x$에 대한 적분을 $U$에 대한 적분으로 변수 변환을 할 수 있습니다. 따라서

$$T(E) = \sqrt{2m} \Big( \int_{0}^{E} \frac{dx_R}{dU} \frac{dU}{\sqrt{E-U}} + \int_{E}^{0} \frac{dx_L}{dU} \frac{dU}{\sqrt{E-U}} \Big)$$

$$ = \sqrt{2m} \int_{0}^{E} \Big( \frac{dx_R}{dU} - \frac{dx_L}{dU} \Big) \frac{dU}{\sqrt{E-U}} $$

와 같이 쓸 수 있습니다. 이제 이 식을 이용하여 $T(E)$에 대한 함수인 $U(x)$ 혹은 이 함수의 역함수인 $x(U)$를 구하면 됩니다. 이 과정에서는 특별한 물리적인 직관 보다는 단순히 수학적인 테크닉이 필요한데, 위 식의 양변에 $\frac{1}{\sqrt{\alpha - E}}$를 곱하고 $E$를 $(0, \alpha)$ 범위에서 적분합니다. 즉, 

$$\int_{0}^{\alpha} \frac{T(E)dE}{\sqrt{\alpha -E}} = \sqrt{2m} \int_{0}^{E} \Big( \frac{dx_R}{dU} - \frac{dx_L}{dU} \Big) \frac{dUdE}{\sqrt{\alpha - E}\sqrt{E-U}} $$

가 됩니다. 여기서 $dE$ 적분은 운이 좋게도 해석적으로 적분이 가능한데, 그 값은 $\pi$가 됩니다. 즉,

$$\int_{0}^{\alpha} \frac{T(E)dE}{\sqrt{\alpha -E}} = \pi \sqrt{2m} \int_{0}^{E} \Big( \frac{dx_R}{dU} - \frac{dx_L}{dU} \Big) dU $$

이 되고 최종적으로 간단하면, (그리 어려운 과정이 아니니 한 번쯤 계산 해 보는 것이 좋습니다)

$$x_R(U) - x_L(U) = \frac{1}{\pi \sqrt{2m}} \int_{0}^{U} \frac{T(E)dE}{\sqrt{U-E}}$$

를 얻습니다. 즉 우리가 원하는 대로 $T(E)$로 부터 위치 에너지의 개형이라고 할 수 있는 $x_R(U) - x_L(U)$를 얻었습니다. 조금 더 정확하게 표현하면 $x_R(U), x_L(U)$를 각각 구한 것은 아니고 이 둘의 차이를 구한 것 입니다. 

 

위 결과의 의미는?

 

서로 다른 두 위치 에너지 $U_1(x), U_2(x)$ 가 있다고 하겠습니다. $U_1, U_2$가 계속 언급한대로 $x>0, x<0$ 영역에서 각각 역함수가 잘 정의 된다면, $x_R(U_1), x_L(U_1)$와 $x_R(U_2), x_L(U_2)$가 있다고도 볼 수 있습니다. 또한 $U_1$에 대응되는 주기 함수가 $T_1(x)$라고 하겠습니다. 만일 위치 에너지 $U_2(x)$가 임의의 모든 위치 에너지 $U$ 값에서

$$x_R(U_1) - x_L(U_1) = x_R(U_2) - x_L(U_2) $$

를 만족한다면, $U_2$에 의해 결정되는 주기 함수 $T_2(E)$는 $T_1(E)$와 일치하게 됩니다. 즉, 하나의 $T(E) = T_1(E)$에 대해서 서로 다른 두 개의 $x_R(U_1), x_L(U_1)$와 $x_R(U_2), x_L(U_2)$ 가 얻어지는 것 입니다. 일반적으로는 서로 다른 무한개의 $x_R(U_n), x_L(U_n)$을 얻을 수 있습니다.  $x_R(U_n), x_L(U_n)$은 단지  $x_R(U_n) - x_L(U_n) = x_R(U_1) - x_L(U_1)$ 을 만족 시키기만 하면 됩니다. 

 

하나의 결과 $T(E)$를 야기하는 서로 다른 $U(x)$가 있다는 것인데, 이는 역문제의 매우 일반적인 성질 중 하나 입니다. "원인 $\rightarrow$ 결과" 는 함수이지만, 이의 역함수인 "결과 $\rightarrow$ 원인"은 일반적으로 함수가 아닙니다. 왜냐하면 이 예제와 같이 하나의 결과에 서로 다른 원인이 존재할 수 있기 때문입니다. 우리가 다루고 있는 구체적인 문제에서는 무한개의 서로 다른 원인(위치 에너지)에서 하나의 결과 (주기 함수)를 얻을 수 있었습니다. 

 

임의의 진폭(역학적 에너지)의 왕복 운동에서 주기가 같은 서로 다른 두 위치 에너지의 예시

 

서로 다른 형태의 위치 에너지 이지만, 왕복 운동의 주기가 같은 위치 에너지 쌍의 예시를 들어 보도록 하겠습니다. 

 

위치 에너지 쌍은 

 

$$U_M(x) = U_0 (e^{-2\alpha x} - 2e^{-\alpha x})$$

$$U_{PT}(x) = -\frac{U_0}{\cosh ^2(\alpha x)}$$

 

입니다. 여기서 $U_M$은 Morse 위치 에너지, $U_{PT}$는 Poschl-Teller 위치 에너지입니다. 두 위치 에너지는 양자 역학을 공부할 때 볼 수 있는 위치 에너지 인데, 이들의 물리적인 의미에 대한 설명은 생략하도록 하겠습니다. 위 그림에서 볼 수 있는 바와 같이, 두 위치 에너지는 서로 완전히 다르게 생겼습니다. $U_{PT}$는 $x=0$을 중심으로 좌우 대칭(우함수)로 생겼지만, $U_M$은 그렇지 않습니다. 

 

$U(x)$로 부터 $T(E)$를 구하는 식에 위 두 위치 에너지를 대입하여 $T(E)$를 구해 볼 수 있는데, 우선 Morse 위치 에너지에 대한 계산을 해 보도록 하겠습니다. 우선 $x_R, x_L$을 구해야 하는데 $u = e^{-\alpha x}$의 변수 변환을 하여 $U_M(x_R) = U_M(x_L) =0$을 구하면,

$$u^2 - 2u - \frac{E}{U_0}=0$$

와 같은 $u$에 대한 2차 방정식을 얻게 되며, 근의 공식으로 부터,

$$u_{\pm} = 1 \pm \sqrt{1 + E/U_0}$$

를 얻습니다. 

$$T(E) = \sqrt{2m} \int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{E-U_0(e^{-2\alpha x} - 2e^{-\alpha x})}}$$

$$= \sqrt{\frac{2m}{U_0 \alpha^2}} \int_{u_-}^{u_+} \frac{du}{\sqrt{\frac{E}{U_0}u^2 + 2u +1}}$$

입니다. 다시 한 번 변수 변환 $\omega = (u\sqrt{-\frac{E}{U_0}} + \sqrt{-\frac{-U_0}{E}})$ 를 하면, 

$$T(E) =\sqrt{\frac{2m}{U_0 \alpha^2}} \int_{\omega_-}^{\omega_+} \frac{d\omega}{\sqrt{\omega^2 - (\frac{U_0}{E}+1)}} $$

$$ = \frac{\pi}{\alpha} \sqrt{\frac{2m}{E}}$$

가 됩니다. 

 

나름 복잡해 보이는 위치 에너지의 형태인데, 최종적인 주기는 매우 간단한 형태로 얻어집니다. Poschl-Teller 위치 에너지에 대해서도 동일하게 계산해서 $T(E)$의 형태가 같음을 확인할 수 있습니다. 혹은, 임의의 $E$에 대해서 $x_R - x_L$의 값이 서로 같다는 것을 보여도 됩니다. 일반적인 위치 에너지에 대해서 이것을 비교하는 것이 더 쉽습니다. 왜냐하면 직접적으로 $T(E)$를 구하는 과정에서는 어려운 적분식이 들어가지만, $x_R - x_L$를 구하는 것에는 $U(x)=E$의 두 해이 차이만 구하면 되기 때문입니다. 

 

Morse 위치 함수에 대한 $x_R - x_L$값은

$$D_M(E) = \frac{1}{\alpha} \log \Big(\frac{1 + \sqrt{1+E/U_0}}{1 - \sqrt{1+E/U_0}}\Big)$$

$$ = \frac{2}{\alpha} \log \Big( \sqrt{-U_0/E} + \sqrt{U_0/E-1}\Big)$$

이고, Poschl-Teller 위치 에너지에 대한 $x_R - x_L$값은 비교적 간단하게

$$D_{PM}(E) = \frac{2}{\alpha} \cosh^{-1}(\sqrt{-U_0/E})$$

을 얻습니다. $cosh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2-1})$ 로 부터, $D_M(E) = D_{PM}(E)$ 을 확인 할 수 있습니다. 

 

즉, 임의의 $E$에 대해서 $x_R - x_L$이 같기 때문에, 서로 같은 $T(E)$에 대한 위치 에너지가 됩니다. 다시 말하면, $U(x)$의 형태는 서로 다르지만, 이로 부터 유도 되는 $T(E)$는 서로 같습니다.

실제로 특정한 에너지 값에 대해서 $x_R - x_L$를 화살표로 표시해 봤습니다. 검은색 점선으로 표시한 에너지 값에 대한 $x_R - x_L$는 두 위치 함수에서 서로 같습니다. $x>0$ 영역에서는 Morse 위치 에너지가 Poschl-Teller 위치 에너지에 비해 더 가파르기 때문에 원점에서 $x_R$까지 움직이는데 시간이 짧게 걸리지만, 반대로 $x<0$ 영역에서는 Poschl-Teller 위치 에너지가 Morse 위치 에너지 보다 더 가파르기 때문에 원점에서 $x_L$까지 움직이는데 시간이 더 오래 걸립니다. $x=0$을 경계로 시간이 길고 짧음이 상쇄 되어 결국엔 $T(E)$값이 같아지게 됩니다. 

 

Morse 위치 에너지와 Poschl-Teller 위치 에너지 쌍과 같이 위치 에너지의 형태는 다르지만 임의의 $E$에 대해서 동일한 왕복 운동의 주기 $T(E)$를 주는 위치 에너지의 쌍을 shearing 위치에너지쌍 이라고 합니다. 

 

균일한 중력장 하에서, 구속 조건이 있는 2차원 운동의 주기

 

위 논의의 공간 차원은 1차원이었습니다. 하지만, 우리가 찾으려고 하는 등시 곡선은 중력장 하에서 2차원 움직임을 합니다. 중력장의 방향을 $y$라고 하고, 중력장과 수직한 방향을 $x$라고 한다면, 물체는 $x-y$평면상에서 움직이게 되고, 임의의 곡선(등시 곡선)은 $y = f(x)$의 관계식으로 정의 됩니다. 물론 입자는 $y = f(x)$ 곡선 상에서 움직여야 하기 때문에, 이것이 구속 조건이 됩니다, 실제 자유도는 1차원이라고 할 수 있지만 입자는 2차원 평면 상에서 운동하게 됩니다. 

바로 앞에서 설명한 대로, 입자기 $y = f(x)$ 로 정의된 곡선상을 움직인다고 할 때, 입자의 질량을 $m$, 중력 가속도를 $g$라고 한다면 입자의 위치에너지는 $U(x) = mgH = mgy(x)$가 됩니다. 입자의 위치를 표현하는 좌표를 $(x,y)$를 이용하는 것 보다는 원점으로 부터 입자까지의 곡선의 길이 $s$를 이용하여 기술하면 더 편리합니다. 

 

일반화 좌표 $s$를 이용하여 시스템의 역학적 에너지를 표현하면 $E = \frac{1}{2}mv(s)^2 + mgy(s) = mgH$입니다. 여기서 $H$는 입자의 초기 위치의 높이를 의미합니다. 이로 부터 입자의 왕복 주기 $T(E)$를 계산할 수 있는데, 과정과 의미는 앞에서 이미 유도한 1차원 운동의 그것과 완전히 동일 합니다. 단지 위치 $x$가 거리 $s$로, 일반적인 위치 에너지 $U(x)$가 중력장에 의한 위치 에너지 $mgy(s)$로 바뀐 것 뿐 입니다. 

$$T(E) = 2 \int_{s_1}^{s_2} \frac{ds}{v(s)} = \sqrt{\frac{2}{g}} \int_{s_1}^{s_2} \frac{ds}{\sqrt{H - y(s)}}$$

여기서 $s_1, s_2$는 $x<0$ 인 영역에서의 $s$의 최소값, $x>0$ 인 영역에서의 $s$의 최대값 입니다. 즉, $x<0$ 영역에서는 $s$가 음수값을 갖습니다. 원점에서 부터의 곡선의 길이에 마이너스 부호를 추가한 것 입니다. 이 다음 부터의 논의는 위에서 했던 논의의 과정과 동일 합니다. 위 식을 통해서 곡선의 개형 $y(s)$로 부터 왕복 주기 운동의 주기 $T(E)$를 구할 수 있습니다. 반대로 $T(E)$로 부터 곡선의 개형 $y(s)$를 얻을 수 있는데, 정확히는 $s_R(y) - s_L(y)$의 차이를 구할 수 있습니다. 

$$s_R(y) - s_L(y) = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{g}{2}} \int_0^y \frac{T(E)dH}{\sqrt{y-H}}$$

가 됩니다. 1차원 운동에서 알아본 바와 같이 하나의 $T(E)$에 대해서 서로 다른 무한개의 $s(y)$가 나올 수 있습니다. 서로 다른 $s(y)$ 곡선들은 $s_R(y) - s_L(y)$가 서로 같아야 합니다. 

 

사이클로이드 곡선의 경우

 

사이클로이드 곡선을 위 식에 대입해 보도록 하겠습니다. 사이클로이드는 이미 등시 곡선이라는 것을 알고 있고, 등시 곡선에서는 역학적 에너지의 크기와 상관 없이 왕복 주기 운동의 주기가 같습니다. 즉 $T(E) = \tau$로 놓을 수 있습니다. 또한 사이클로이드는 원점을 중심으로 해서 대칭적이기 때문에 $s(y) = s_R(y) = -s_L(y)$와 같고, $s_R(y) - s_L(y) = 2s(y)$ 입니다. 이로 부터, 

$$s(y) = \frac{1}{2\pi} \tau \sqrt{\frac{g}{2}} \int_0^y \frac{dH}{\sqrt{y-H}}$$

$$= \frac{1}{2\pi} \tau \sqrt{\frac{g}{2}} (2\sqrt{y})$$

$$\Rightarrow y = \frac{2\pi^2}{\tau^2g}s^2$$

를 얻습니다. $s$에 대한 위치 에너지가 $s^2$에 비례하므로 $s$의 운동은 단조화 진동자의 운동과 같고, 단조화 진동자의 운동에서는 진폭과 상관 없이 주기가 일정하다는 것을 잘 알고 있습니다. 모든 계산의 결과가 기존의 지식과 일치합니다.

 

사이클로이드 곡선을 매개화 할 때, 사이클로이드를 생성하는 원의 반지름을 $r$이라고 한다면, $r$과 $\tau$는 

$$r = \frac{\tau^2 g}{16\pi^2}$$

의 관계가 있다는 것을 쉽게 유도할 수 있습니다. 따라서, $y = \frac{1}{8r} s^2$으로도 쓸 수 있습니다. 이와 관련된 내용은 이 포스팅의 맨 앞부분에 링크해 둔 이전 포스팅을 참고하면 됩니다. 

 

반지름이 $r$인 사이클로이드와 shearing 곡선 쌍인 곡선 찾기

 

임의의 y에 대해서 $s_R(y) - s_L(y)$가 서로 같은 곡선을 shearing 곡선 쌍이라고 하겠습니다. 1차원 운동에서 shearing 위치 에너지 쌍이라고 한 것과 같은 맥락입니다. $y(s)$의 개형은 다르다고 하더라도 $s_R(y) - s_L(y)$가 같다면, 두 곡선에 의한 왕복 운동의 주기 $T(E)$는 서로 같습니다. 

 

반지름이 $r$인 원에 의해 생성되는 사이클로이드 곡선의 길이에 대한 매개화는 앞에서 알아본 바와 같이 $y = \frac{1}{8r}s^2$ 입니다. 그리고 이 사이클로이드는 원점을 중심으로 좌우 대칭의 개형을 갖기 때문에, $s_R(y) - s_L(y) = 2s(y) = 4\sqrt{2}\sqrt{ry}$가 됩니다. 

 

아래 그림과 같이 좌우 대칭인 사이클로이드 (연두색 점선)과 shearing 곡선 쌍인 붉은색 곡선을 구해 보도록 하겠습니다. 이 붉은색 곡선은 $x>0$인 영역에서는 반지름이 $\tilde{r}_R$인 원에 의해 생성된 사이클로이드이며, $x<0$인 영역에서는 반지름이 $\tilde{r}_L$인 원에 의해 생성된 사이클로이드 곡선입니다. 당연히 연두색 점선으로 표시한 사이클로이드와는 다른 형태의 곡선입니다. 

붉은색 곡선의 $s_R(y) - s_L(y)$ 를 계산하면, 그 값은 간단히 $2\sqrt{2}\sqrt{\tilde{r}_Ry} + 2\sqrt{2}\sqrt{\tilde{r}_Ly}$임을 알 수 있습니다. 따라서 두 곡선이 shearing 곡선 쌍이 되기 위해서는,

$$2\sqrt{r} = \sqrt{\tilde{r}_R} + \sqrt{\tilde{r}_L}$$

을 만족해야 합니다. 즉, 붉은색 곡선이 이 조건을 만족시키는 곡선이라면 이 곡선 역시 연두색 대칭 사이클로이드와 같이 왕복 운동의 주기는 입자의 초기 위치와는 무관하게 항상 같습니다. 즉, 등시 곡선이 됩니다. 위 조건을 만족시키는 $(\tilde{r}_R, \tilde{r}_L)$의 쌍은 무한히 많기에, 등시 곡선은 무한히 많습니다. 물론, $x=0$을 기준으로 좌우 대칭 이라는 조건을 추가한다면, 등시 곡선은 사이클로이드 곡선이 유일하긴 합니다. 

 

좀 더 일반적인 형태의 등시 곡선 찾기

 

임의의 $r>0$에 대해서, $s_R(y) - s_L(y) = 4\sqrt{2}\sqrt{ry}$을 만족하는 $s(y)$에 의한 왕복 운동의 주기는 사이클로이드의 왕복 운동의 주기와 같기 때문에, $s(y)$는 등시 곡선이 됩니다. 위 비대칭적인 사이클로이드 곡선의 예시와 같이, $x<0$ 영역의 $s(y)$가 임의의 개형이라고 하더라도, $x>0$ 영역의 $s(y)$가 $s_R(y) = 4\sqrt{2}\sqrt{ry} + s_L(y)$를 만족하기만 한다면, 전체 곡선은 등시 곡선이 됩니다! 매우 간단한 방법으로 등시 곡선을 하나 만들어 내는 방법입니다. 

이 방법으로 등시 곡선 하나를 만들어 보겠습니다. 위 그림에서 연두색 점선은 사이클로이드 입니다. 붉은색 실선은 우리가 만들어 보려는 등시 곡선인데, $x<0$ 영역의 개형을 원하는 대로 만들고, $x>0$의 개형을 이에 맞게 설정해서 전체 곡선이 등시 곡선이 되게 하려고 합니다. $x<0$ 영역의 개형을 $y = \alpha (-x)^{\frac{3}{2}}$로 하겠습니다. 여기서 $\alpha >0$ 은 곡선의 개형을 결정하는 상수 입니다. 이 곡선을 곡선의 길이로 매개화 한다면,

$$s_L(y) = \frac{8}{27 \alpha^2} \Big[ \Big(\frac{9\alpha^{4/3}}{4}y^{2/3}+1 \Big)^{3/2}-1 \Big]$$

이 됩니다. 이로 부터 $x>0$ 영역의 곡선의 개형은 간단히, $s_R(y) = 4\sqrt{2} \sqrt{ry} + s_L(y)$가 되고, 이를 그리면 위 그래프와 같은 모양이 됩니다. 

 

$x<0$ 영역에서는 붉은색 곡선이 사이클로이드 곡선 보다 더 가파르기 때문에 원점에서 부터 $\tilde{s}_1$까지의 움직임의 시간이 짧지만, 반대로 $x>0$ 영역에서는 붉은색 곡선이 사이클로이드 보다 덜 가파르게 설계되었기 때문에, 왕복 운동의 등시 곡선이 됩니다. 

 

요약

 

이번 포스팅에서는 왕복 운동을 고려할 때, 등시 곡선은 무한히 많다는 것을 보였습니다. 그리고 등시 곡선으로 잘 알려진 사이클로이드의 곡선 매개화를 통해서, 우리가 원하는 형태의 개형을 갖는 등시 곡선을 어떻게 생성할 수 있는지에 대해서도 알아봤습니다. 그 방법은 다소 간단한데, 임의의 위치 $y$에서 $s_R(y) - s_L(y) = 4\sqrt{2}\sqrt{ry}$를 만족시키면 되는 것 이었습니다.