드럼의 모양을 들을 수 있을까? (Can one hear the shape of a drum?) : (1) 2차원 직사각형 드럼에 대한 예시

폴란드계 미국인 수학자 마크 카츠Mark Kac는 1966년 American Mathematical Monthly를 통해서 꽤나 황당하면서도 의미 이는 질문을 던집니다. 논문의 제목은 질문의 내용과 같은데 바로 <드럼의 모양을 "들을" 수 있을까?> (Can one hear the shape of a drum?) 입니다. 드럼의 모양을 "들을" 수 있다니? 매우 황당한 질문입니다. 모양을 눈으로 봐야하는 것이지, 귀로 듣는것이 아니니까요. 마크 카츠는 마음의 눈으로 보고 마음의 귀로 듣는다는 기인이거나 미치광이가 아니기 때문에, 그의 질문은 말도 안되는 이상한 질문은 당연히 아니었습니다. 카츠는 논문을 통하여 해석학의 분과 중 하나인 스펙트럼 이론(Spectral theory)의 질문을 던진 것 입니다. 

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/MarkKac.pdf

 

이번 포스팅에서는 이 논문을 통해 카츠가 해결하고자 했던 문제가 무엇인지를 이해하고, 드럼의 모양을 "들을" 수 있는지에 대해서 매우 간단한 예시를 들어서 답해보도록 하겠습니다. 이 포스팅은 헬름홀츠 방정식에 대해서 다룬 이전 두 개의 포스팅을 이미 이해하고 있다는 가정하에 쓰여졌습니다. 헬름홀츠 방정식과 이 방정식을 1차원에서 푸는 것에 대해 익숙하지 않으신 분은 이전 두 개의 포스팅을 먼저 읽고 오는 것이 좋습니다. (사실, 헬름홀츠 방정식에 대한 두 포스팅은 이 포스팅을 하기 위해 쓰여진 것 이기도 합니다)

 

https://studyingrabbit.tistory.com/36?category=911605 

2차원 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation) 풀기 : 고유 함수의 개형, 고유 진동수 및 고유 진동수의

https://studyingrabbit.tistory.com/37?category=911605 

유한요소법(Finite Element Method)으로 미분 방정식(헬름홀츠 방정식) 풀기

팽팽하게 당긴 고무줄을 튕기면 고무줄의 길이, 고무줄의 양쪽에서 당기는 장력의 정도에 따라서 "둥~" 하는 낮은 음에서 부터 "띵~"에 가까운 높은 음이 납니다. 여기서 낮은 음이란 진동수가 낮은 음을 뜻하며, 높은 음이란 진동수가 높은 음을 뜻합니다. 튕겨진 고무줄의 움직임은 파동방정식으로 기술할 수 있습니다. 그냥 생각할 땐, 고무줄의 움직임이 파동과는 전혀 상관이 없어 보이긴 하지만, 이 고무줄의 움직임은 양쪽 끝이 고정된 경계조건에 해당하는 파동의 움직임이라 볼 수 있습니다. 흔히 이런 파동을 정상파(standing wave)라고 합니다. 고무줄이 튕겨졌을 때 나는 소리, 즉 고무줄 진동의 고유 진동수를 계산하기 위해서는 파동 방정식의 공간 변수의 방정식에 해당하는 헬름홀츠 방정식을 풀어야 합니다. 헬름홀츠 방정식을 해석적으로 또는 수치적으로 어떻게 풀어야하는지는 위 두 포스팅에 친절하게 설명 돼 있습니다. 

 

가장 간단한 1차원 문제를 생각해 보겠습니다. 길이가 $a$ 인 고무줄의 진동의 고유 진동수(의 제곱)는

$$\omega_n^2 = \frac{c\pi^2}{a^2}n^2$$

와 같이 주어집니다. $\omega_n$을 사용하지 않고 $\omega_n^2$를 사용한 것은 $\omega_n$를 사용하게 되면 계속 해서 루트를 써 주어야 하기 때문입니다. 제곱을 쓴 것이 불편하다면 $\omega_n^2 = \lambda$로 생각하여 고유값을 $\lambda$라 하면됩니다. 여기서 $c$는 고무줄의 밀도, 장력 등 실제 매우 구체적인 상황과 관련된 값 입니다. $n$은 자연수 입니다. 논의를 편히 하기 위해서 $\omega_n^2$를 쓰는 것 보다는 $\frac{\omega_n^2}{c\pi^2}$를 새로운 $\omega_n^2$로 정의하도록 하겠습니다. 또한 줄의 길이 $a$를 적당한 단위로 측정하여 새롭게 정의한 $\omega_n^2$가 그냥 실수가 되도록 하였다고 하겠습니다. 구체적인 물리 문제를 푼다기 보다는 일반적인 수학 문제를 풀기 위하여 디테일한 것들은 모두 제거했다고 생각하면 됩니다. 

 

따라서, 이 고무줄이 낼 수 있는 소리의 진동수(역시나 $\frac{\omega_n^2}{c\pi^2}$를 뜻 합니다)의 집합은 $\Omega = \{ \omega_n^2 | n =1, 2, 3, ... \} = \{\frac{n^2}{a^2}| n =1, 2, 3, ... \} $이 됩니다. 최소 진동수는 $\frac{1}{a^2}$이 됩니다.  예를들어서 $a=2$이라고 한다면, 이 고무줄의 진동에서 날 수 있는 최소 진동수는 $1/4$가 되고, 이 밖에도 $\{1/4, 1, 9/4, 4, 25/4 ... \} $ 의 진동수의 소리가 만들어 질 수 있습니다. 

 

즉, 1차원 문제에서는 시스템의 가장 작은 고유 진동수 $\omega_1^2$와 시스템의 크기 $a$ 가 아주 간단한 관계식을 갖습니다. 즉 $\omega_1^2 = \frac{1}{a^2}$가 됩니다. 따라서 시스템의 고유 진동수를 들을 수 있다면 이로 부터 $a = \frac{1}{\sqrt{\omega_1^2}}$의 식을 통해서 시스템의 크기 $a$를 바로 알 수 있습니다. 이 특징을 마크 카츠의 문학적인 표현을 빌려 다시 쓴다면 "고무줄의 길이를 들을 수 있다"가 됩니다. 고무줄의 진동수(듣기)로 부터 고무줄이 길이(보기)를 알 수 있습니다. 

 

마크 카츠의 질문은 과연 이 같이 "시스템의 고유 진동수를 통해서 시스템의 모양을 추론하는 것이 2차원에서도 가능한가?" 입니다. 1차원에서 정의된 영역은 범위 $[a,b]$로 표현할 수 있습니다. 보다 정확히는 $b-a$, 즉, 고무줄의 길이만 알고 있다면 1차원 진동은 완벽하게 기술할 수 있습니다. 1차원에서 진동하는 고무줄은 2차원에서는 진동하는 북의 표면으로 자연스럽게 차원을 넓힐 수 있습니다. 동그랗게 생긴 북이 아니라 매우 일반적인 모양의 북을 생각해야 합니다. 찌그러진 북이라든가 혹은 정삼각형, 정사각형의 북도 될 수 있습니다. 차원이 하나 높아졌는데, 해당 차원에서 정의될 수 있는 영역은 매우 자유도가 높습니다. 임의의 2차원 모양의 북에서 나는 소리(고유 진동수)로 부터 북의 모양을 유추할 수 있을까요? 

 

정확한 수학적인 문제의 기술은 다음과 같습니다. 

 

2차원 영역 $D$가 있다고 하자. 이 때 디리클레 경계 조건의 헬름 홀츠 방정식의 고유 값을 $\omega_n^2$라고 하면, 

$$\nabla^2 u + \omega_n^2 u =0, u |_{\partial D} = 0$$ 

로 부터 영역 $D$에 대해서 이에 대응되는 고유 진동수 $\Omega = \{\omega_n^2 | n=1,2,3,... \}$가 정해진다. 이 때, $\Omega = \{\omega_n^2 | n=1,2,3,... \}$로 부터 $D$(의 형태)를 추론할 수 있을까?

 

이 질문에 대한 답이 "예"라고 한다면, 영역 $D$의 형태와 고유 진동수의 집합 $\Omega = \{\omega_n^2 | n=1,2,3,... \}$은 1대1 대응을 이룬다고 할 수 있습니다. 그러나 만일 이 질문에 대한 답이 "아니요"라고 한다면, 영역 $D_1$과 영역 $D_2$가 서로 다른 모양이지만 이 두 영역으로 부터 정해지는 고유 진동수이 집합 $\Omega = \{\omega_n^2 | n=1,2,3,... \}$는 서로 같은 집합이 되는 $D_1$과 $D_2$가 존재한다는 것이 됩니다. 

 

이 문제와 같이 일반적인 연산자의 고유 함수와 고유 값을 계산하고 연구하는 이론의 분야를 스펙트럼 이론이라고 합니다. 이 문제에서의 연산자는 라플라스 연산자였고, 고유 함수가 정의되는 영역은 2차원 공간입니다. 선형 대수학에서 흔히 볼 수 있는 정사각행렬에서 고유 벡터와 고유 값을 찾고, 이들의 성질을 연구하는 것 역시 스펙트럼 이론의 하나라고 볼 수 있습니다. 

 

2차원 문제이긴 하지만, 조금 간단한 경우만을 고려해 보자

 

매우 일반적인 2차원 영역에 대한 문제를 푸는것은 무척 어렵습니다. 따라서 우리는 이번 문제를 직사각형 모양의 영역으로 제한 시켜 보겠습니다. 일상의 용어로 바꾼다면, 세상에는 단지 직사각형 모양의 북 만 존재하는 것이 됩니다. 직사각형 영역은 각 변의 길이만 정해진다면 정의가 됩니다. 직사각형의 두 변의 길이를 $a, b$ 라고 하겠습니다. 그리고 편의상 $a \ge b$라고 하겠습니다. $a=b$ 인 경우에는 정사각형 모양의 북이 됩니다. 직사각형 형태의 경계조건에서의 헬름홀츠 방정식은 1차원 헬름홀츠 방정식을 두 번 푸는 것이라 어렵지 않습니다. 위 포스팅에서도 동일한 문제를 풀었으니 이해가 되지 않는 분은 포스팅을 다시 보고 오면 됩니다. 1차원 고무줄의 진동 문제에서와 같이 간단히 정의된 진동수는 

$$\omega(n,m)^2 = \frac{n^2}{a^2} + \frac{m^2}{b^2}$$

이 됩니다. 여기서 $n, m = 1, 2, 3, ... $ 이 됩니다. 조금 더 형식적으로 쓴다면,

$$D(a, b) \rightarrow \Omega = \{ \frac{n^2}{a^2} + \frac{m^2}{b^2} | n, m =1, 2, 3, ...\}$$

와 같은 영역 $D$에서 고유 진동수의 집합 $\Omega$이 결정 됩니다. 과연 $\Omega$가 주어졌을 때, 이에 대응되는 영역 $D$를 추론할 수 있을까요? 그리고 이 영역 $D$는 유일할까요?

 

정답은 "예" 입니다.

 

$\Omega = \{ \omega_1^2, \omega_2^2, \omega_3^2, ....\} $가 주어졌다고 하겠습니다. $\omega_1^2 \le \omega_2^2 \le  \omega_3^2 \le ...$ 크기 순서라고 하겠습니다. $D(a, b)$에 대응되는 고유 진동수 집합의 최소 진동수는 $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$이고, 두 번째로 작은 진동수는 $\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ 입니다. 따라서, 

$$\omega_1^2 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$$

$$\omega_2^2 = \frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2}$$

와 같은 연립 방정식이 주어지고, 아래 식에서 위 식을 빼면, 

$$\frac{3}{a^2} = \omega_2^2 - \omega_1^2$$

로 부터 쉽게 $a = \sqrt{\frac{3}{\omega_2^2 - \omega_1^2}}$ 를 얻을 수 있습니다. 또한 같은 방식으로 $b = \sqrt{\frac{3}{4\omega_1^2 - \omega_2^2}}$ 를 얻을 수 있습니다. 영역을 기술하는 두 수 $a, b$ 가 그대로 진동수를 결정하는 식에 들어가 있기 때문에 진동수의 분포(정확히는 가장 작은 값과 두 번째로 작은 값만)로 부터 영역 $a, b$를 바로 얻어 낼 수 있었습니다. 2차원 직사각형 모양의 북에서 생길 수 있는 소리를 듣는 것 만으로도, 북의 모양을 정확하게 추론할 수 있습니다. 

 

일반적인 2차원 영역에서는 직사각형의 경우와 같이 모양을 정해주는 숫자 같은 것은 없습니다. 과연 매우 일반적인 형태의 영역에 대해서도 영역과 고유 진동수의 1대1 관계가 성립하게 될까요?