분류 전체보기 (95) 썸네일형 리스트형 [고전역학-5] 해밀턴 역학 : 정준 변환 Canonical transformation 해밀턴 역학에 대해서 소개한 지난 포스팅의 결론은 "해밀턴의 방식으로 문제를 풀어야 하는 이유를 아직은 모르겠다" 였습니다. 라그랑주 방정식을 통해서 풀면 간단하게 풀리는 문제를 굳이 왜 더 복잡한 (손이 많이 가는) 방법을 통해서 풀어야 하는지에 대한 이유를 지난 포스팅에서는 할 수 없었습니다. 지난 포스팅에서 이어 다시 한 번 설명하지만, 해밀턴 방정식은 개별 문제를 푸는데는 사실 큰 도움이 되지 않습니다. 해밀턴 역학은 고전 역학의 "수학적 체계"를 이해하고 이를 통해서, 뉴턴 역학이나 라그랑주 역학에서는 다룰 수 없었던 정리를 발굴하는데 적합한 역학의 방법론 이라고 할 수 있습니다. 이번 포스팅에서는 해밀턴 역학을 공부하는데 가장 기초적이면서 핵심적인 개념인 정준 변환 Canonical trans.. [고전역학-4] 해밀턴 역학 : 위상 공간과 정준 방정식 고전 역학 (Classical Mechanics) 고전 역학은 물체에 작용하는 힘과 이에 대한 물체의 반응이라 할 수 있는 물체의 운동(움직임)과의 관계를 설명하는 물리학의 한 분야 입니다. 고전 역학은 물리학 뿐 아니라 모든 과학의 분과 중에서 가장 먼저 탄생한 분야이며, 수학을 이용하여 자연 현상을 기술할 뿐 아니라, 현상의 기저에 있는 원리를 밝혀내는 학문입니다. 일반인들에게 있어 가장 친숙한 물리학의 분야임과 동시에, 중고등학교 교과과정에서도 처음 접할 수 있는 분야입니다. 뉴턴 역학 (Newton(ian) Mechanics) 고전 역학은 뉴턴 역학이라는 이름으로 불리기도 하는데, 물체의 운동 법칙을 발견한 물리학자이자 수학자인 아이작 뉴턴의 이름을 딴 것 입니다. 중고등학교 시절 물리를 포기하신.. [고전역학-3]푸앵카레 재귀정리 : 과거와 현재와 미래는 반복 된다! (feat 리우빌 정리) 푸앵카레 재귀정리 (Poincare recurrence theorem, 회귀리로 번역되기도 합니다)는 실로 어마어마한 정리입니다. 수학적인 "증명" 이니 참인 명제인데, 이 명제를 가슴으로 받아들이기는 매우 어렵습니다. 이 정리가 담고 있는 의미가 실로 우리의 (적어도 나의) 직관과는 어긋나기 때문입니다. 뒤에서 정확한 수학적인 명제의 기술과, 수학적인 증명을 하겠지만, 푸앵카레 재귀정리를 일상의 용어로 옮기면 아래와 같습니다. 세계는 반복된다. 즉 매우 긴 시간 (그러나 무한하지는 않은) 이 지나면 현재의 이 순간으로 돌아온다. 입니다. 시간이 미래에서 과거로 타임머신을 탄 것 처럼 돌아 오는 것이 아니라, 닫힌 곡선을 따라서 주기적인 운동을 하는 것과 같이, 매우 긴 시간이 지나면 처음 시작 했던 그.. [고전역학-2]사이클로이드가 등시 곡선 임을 증명하는 가장 우아한(?) 방법 사이클로이드(Cycloid)는 직선 위로 원을 굴렸을 때, 원의 원주 위에 있는 한 점이 그리는 자취 입니다. 사이클로이드는 굉장히 재미난 특징을 가지는 곡선인데, 그 중에서도 유명한 것은 (1) 사이클로이드는 최단 하강 곡선이다 (2) 사이클로이드는 등시 곡선이다 입니다. 최단 하강 곡선이라는 성질은 매우 유명한데, 아마도 "등시 곡선"을 검색해서 이 글을 접하시는 분이라면, 사이클로이드가 최단 하강 곡선임을 증명하는 것은 한 번쯤 보셨을 것 입니다. 그래서 (1)의 증명은 생략 합니다. (1)에 대한 증명은 사이클로이드를 다루는 위키피디아 페이지 등 인터넷에서 쉽게 접할 수 있습니다. 그래서 이 포스팅에서는 (2)에 집중할 것 입니다. 물론 위키피디아 등의 웹 사이트에서 (2)를 증명한 것이 있지만,.. [선형대수-3, 고전역학-1] 행렬대각화를 이용한 결합진동자(coupled oscillator)의 운동방정식의 쉬운 풀이 복습 : 행렬대각화를 이용하여 이변수 이차형식을 일변수 함수의 합으로 나타내기 지난 포스팅에서는 행렬대각화를 이용하여 복잡한 이차형식을 간단한 형태로 변환하는 방법을 알아보았습니다. 간단히 요약하면, 이변수 이차형식 $$f(x,y) = f(\vec{x}) = ax^2 + by^2 + 2cxy = \vec{x}^T A vec{x}, A = \begin{pmatrix}2a&c\\c&2b\end{pmatrix} $$ 에 대해서 행렬 $A$의 고유벡터를 기저로 하는 좌표 $(x', y')$를 이용하여 위 이차형식을 표현하면, $$f(x,y)=f(\vec{x})=f(\vec{x}')=\vec{x}'^TD\vec{x}'=\lambda _1x'^2+\lambda _2y'^2$$ 와 같이 $xy$ 항이 없는 간단한.. [선형대수-2] 이차형식과 행렬 대각화 : 고유값에 따른 타원곡선의 결정 이번 포스팅에서는 행렬의 대각화가 이차형식에 대해 이해하는데 어떻게 활용 될 수 있는지를 알아보겠습니다. 행렬의 대각화를 이용해 복잡한 것을 단순하게 이해하는 가장 기본적인 예시라고 할 수 있습니다. 이 과정만 제대로 이해한다면 앞으로 다룰 더 복잡한 과정도 쉽게 이해할 수 있습니다. 이차식 변수 $x$에 대한 이차식(이차함수) $$y=ax^2+bx+c$$ 은 중학교 시절에 처음 나오는 것 같은데, 수포자라고 하더라도 한 번 쯤은 들어 봤고, 한 번 쯤은 그래프를 그려봤고, 한 번 쯤은 근의 공식을 외웠던 중요한 함수 입니다. 이차함수는 해석적인 방법으로 해를 쉽게 구할 수 있고, 그래프 역시 쉽게 그릴 수 있으며, 테일러 근사와 같은 방법을 활용하여 임의의 함수를 부분적으로 근사할 때 꼭 나오는.. [선형대수-1] 행렬대각화 : 행렬의 고유값과 고유벡터의 기하학적 의미 행렬? 아마 이 글을 읽으시는 분 중에서 행렬을 모르시는 분은 없을 거라 생각합니다. 이 글을 읽는 대부분의 분들은 네이버나, 구글에서 고유값, 고유벡터 등을 검색어로 이 글을 접하시게 됐을 텐데, 위 검색어로 검색을 했다는 것은 행렬에 대해서는 알고 있지만, 행렬의 고유값과 고유벡터가 무엇인지를 모르시는 경우가 대부분일거라고 생각합니다. 행렬을 아는 사람에게 왜 행렬에 대해서 이야기를 하나면, 행렬이 무엇인지를 다시 한 번 생각해 보면 행렬의 고유값과 고유벡터가 어떤 의미를 갖는지에 대해서 좀 더 쉽게 혹은 좀 더 깊이 있게 이해할 수 있기 때문입니다. 제가 고등학교에 다닐 때는 행렬은 수학1에서 배웠습니다. 그 당시 교육과정(매우 오래전의 이야기 입니다)은 고등학교 1학년에서 공통 수학을, 2.. 이전 1 ··· 9 10 11 12 다음
