[고전역학-3]푸앵카레 재귀정리 : 과거와 현재와 미래는 반복 된다! (feat 리우빌 정리)

푸앵카레 재귀정리 (Poincare recurrence theorem, 회귀리로 번역되기도 합니다)는 실로 어마어마한 정리입니다. 수학적인 "증명" 이니 참인 명제인데, 이 명제를 가슴으로 받아들이기는 매우 어렵습니다. 이 정리가 담고 있는 의미가 실로 우리의 (적어도 나의) 직관과는 어긋나기 때문입니다. 

 

뒤에서 정확한 수학적인 명제의 기술과, 수학적인 증명을 하겠지만, 푸앵카레 재귀정리를 일상의 용어로 옮기면 아래와 같습니다. 

 

세계는 반복된다. 즉 매우 긴 시간 (그러나 무한하지는 않은) 이 지나면 현재의 이 순간으로 돌아온다. 

 

입니다. 시간이 미래에서 과거로 타임머신을 탄 것 처럼 돌아 오는 것이 아니라, 닫힌 곡선을 따라서 주기적인 운동을 하는 것과 같이, 매우 긴 시간이 지나면 처음 시작 했던 그 순간과 같은 상태로 돌아가는 것 입니다. 마치 시계의 시침이 60분 마다 같은 곳에 도착하는 것 처럼말이죠. 다소 말이 안되는 것 같은데... 이 명제를 증명해 보도록 하겠습니다. 

 

푸엥카레 재귀정리

 

(시스템이 점유 할 수 있는 위상 공간의 부피가 유한 할 때) 특정한 초기 상태를 갖는 고전 역학적 계는 충분한 시간이 흐르면, 초기 상태와 매우 유사한 상태로 회귀 한다

$N$개의 입자로 이루어진 고전 역학 시스템의 초기 상태의 시간을 $t=t_0$ 라고 한다면, 이 때 고전 역학계의 상태는 위상 공간의 한 점 $(\vec{q}^{3N}(t_0), \vec{p}^{3N}(t_0))$ 으로 표현 됩니다. 이 고전 역학 시스템은 시간에 따라 위상 공간을 움직이는데, 위상 공간을 움직이는 방정식은 해밀토니안 운동 방정식에 지배를 받습니다. 

 

푸앵카레 재귀정리는 (엄밀한 statement 는 아니겠지만, 이해를 돕기 위해 측도 이론의 용어를 쓰지 않고, 쉬운 용어로 대신하면) 다음을 만족하는 $t_{\text{recurrence}} < \infty$ 가 존재한다는 것 입니다. 

 

$$\text{For any } \epsilon >0, \text{there exists } t_{\text{recurrence}} <\infty, \text{ such that, } $$$$|(\vec{q}^{3N}(t_0), \vec{p}^{3N}(t_0)) - (\vec{q}^{3N}(t_0+t_{\text{recurrence}}), \vec{p}^{3N}(t_0+t_{\text{recurrence}}))| < \epsilon$$

 

다시 표현하면, "특정 상태 ($t=t_0$ 일 때 시스템의 상태)와 매우 유사한 상태는 시간이 흐르면($\Delta t  \gtrapprox t_{\text{recurrence}}$ 를 만족하면) 언젠가는 얻어진다"  입니다. 

이해를 돕기 위한 위 그림을 통해 설명하면, 시스템이 Start로 표시한 하늘색 점에서 시작하여 운동 방정식에 의해 Time evolution을 하며 위상 공간을 움직이면, 언젠가는 붉은색 점의 상태(위치)와 같이 초기 상태(푸른색 점) 주변을 매우 가깝게 지나가게 됩니다. 

 

"비슷함"을 정의하는 지수인 $\epsilon$이 작아질 수록 $t_{\text{recurrence}} < \infty$ 는 커질테고, 시스템의 입자의 갯수 $N$가 많아서 위상 공간의 부피가 커질 수록 $t_{\text{recurrence}} < \infty$는 커지겠지만, 어쨌든 $t_{\text{recurrence}} < \infty$는 유한하다는 것입니다.

 

푸앵카레 재귀정리의 스케치

 

푸앵카레 재귀정리를 증명하려면, 물리학과 대학원 수준의 고전 역학에 대한 지식이 필요합니다. 물론, 보다 더 수학적으로 엄밀한 증명을 위해서는 수학과 학부 수준의 측도 이론(measure theory)에 대한 지식이 필요 하지만, 측도 이론과 관련된 엄밀한 증명 대신 직관으로 이해하도록 하겠습니다. 학부 수준의 고전 역학 수업에서는 잘 배우지 않는 이론을 이용해서 증명을 해야 하는 명제이기 때문에, 물리학을 전공하였다고 하더라도 이 정리에 대해서 잘 모르거나, 증명하지 못할 수 도 있습니다. 

 

위 정리를 증명하는 과정은 아래와 같습니다. 

 

(1) 시간에 따른 시스템의 변화(time evolution)은 해밀토니안(Hamiltonian)을 생성자(generator)로 하는 정준변환(canonical transformation)이다

(2) 정준변환은 위상 공간에서 부피를 보존(volume preserving)하는 변환이다 : (1)과 (2)로 인해, 시간에 변화에 따른 시스템의 변화는 위상 공간에서 부피를 보존하는 변환으로 볼 수 있다

(3) 시스템이 점유 할 수 있는 위상 공간의 부피가 유한하다면, 시스템이 위상 공간에서 훑고 지나가는 부피이 궤적은 교집합이 생길 수 밖에 없다

 

입니다. (1), (2), (3) 하나 하나를 이해하면, "(1) + (2) + (3) -> 푸앵카레 재귀정리" 를 증명하는 것은 위와 같이 거의 자명하기 때문에, (1), (2), (3)를 이해하는 것이 중요합니다. 사실, (1), (2), (3)은 단순히 푸앵카레 재귀정리를 증명하기 위한 것이 아니라, 대학원 고전 역학 과목에서 반드시 공부해야 하는 중요한 토픽이기도 합니다. 

 

물리학 학부 전공 수준에서 이해하는 (1)과 (2) : 리우빌 정리

 

앞에서 언급한 바와 같이 (1)과 (2)는 대학원 수준의 배경 지식으로, 이를 이해하기 위해서는 해밀토니안 역학에 대한 공부를 많이 필요로 합니다. 특히 정준 변환에 대한 공부가 필요한데, 이를 설명하기 위해서는 따로 포스팅을 두어번은 해야할 정도로 분량이 꽤 되니다. 따라서 본 포스팅에서는 (1)과 (2)를 이용하여 최종적으로 증명하려고 하는 명제인 "위상 공간에서 시스템의 시간에 따른 변화는 부피를 보존하는 변환이다"를 학부 수준의 해밀토니안 역학으로 증명하도록 하겠습니다. 

 

위상 공간에서 면적소의 시간에 따른 변화

 

간단하게 위 그림과 같이 2차원 위상 공간을 생각해 보도록 하겠습니다. 가장 간단한 경우인데, 2차원 공간에서의 논리를 그대로 고차원 위상 공간에 적용 할 수 있습니다. 시간 $t$에 $(q(t), p(t))$ 에 있던 점이 (왼쪽은 검은 점) $dt$ 만큼의 시간이 지난 $t + dt$에 $(q(t+dt), p(t+dt))$로 이동하였습니다. 이 때, 점 근처에 있던 하늘색 정사각형으로 표시한 부분의 점들 역시 운동 방정식에 따라서 이동하였을 것이고, $dt$ 시간 후에는 오른쪽 평행사변형으로 표시한 부분으로 옮겨졌을 것 입니다. 

 

이 때, 시간 $t$ 와 시간 $t+dt$에서 하늘색 정사각형(면적소)의 넓이가 어떻게 변화하였는지 계산해 보도록 하겠습니다. 시간 $t$에서 면적소의 넓이는 간단하게 $dqdp$ 로 주어집니다. 시간 $t+dt$에서의 면적소 역시 간단하게 $dq'dp'$로 주어집니다. $(q(t), p(t))$에서 $dt$ 시간 만큼 후에 $(q(t+dt), p(t+dt))$로 이동한 것을 운동 방정식에 의해서 입자가 이동한 것이라고 생각할 수 도 있지만, 일반적인 수학적인 변환에 의해서 좌표의 값이 변한 것으로도 생각할 수 있습니다. 즉 매우 일반적인 좌표 변환 $(q(t), p(t)) \rightarrow (q'(t), p'(t))$ 를 생각할 수 있고, 일반적인 변화 중에서, 

 

$$q'(t) = q(t+dt) \approx q(t) + \frac{dq}{dt}dt$$

$$p'(t) = p(t+dt) \approx p(t) + \frac{dp}{dt} dt$$

 

와 같은 변환이 운동 방정식에 의한 $(q(t), p(t))$의 변환과 동일 합니다.

 

좌표 변환에 의한 면적소의 변화는 자코비안(Jacobian)를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다.

 

$$dq'dp' =  \begin{vmatrix}\frac{\partial q'}{\partial q}&\frac{\partial q'}{\partial p}\\\frac{\partial p'}{\partial q}&\frac{\partial p'}{\partial p}\end{vmatrix} dqdp$$

 

자코비안 행렬의 행렬식이 곧 면적소의 변화량과 같습니다. 자코비안 행렬의 행렬식을 계산하면

 

$$det(J) = \frac{\partial q'}{\partial q} \frac{\partial p'}{\partial p} - \frac{\partial q'}{\partial p}\frac{\partial p'}{\partial q}$$

 

와 같고, $q', p'$ 가 $dq + \frac{dq}{dt}dt$, $dp + \frac{dp}{dt}dt$ 로 근사할 수 있다는 것을 이용하면, 

 

$$\frac{\partial q'}{\partial q} \approx 1 + \frac{\partial \dot{q}}{\partial q}dt$$

$$\frac{\partial p'}{\partial p} \approx 1 + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p}dt$$

$$\frac{\partial q'}{\partial p} \approx \frac{\partial \dot{q}}{\partial p}dt$$

$$\frac{\partial p'}{\partial q} \approx \frac{\partial \dot{p}}{\partial q}dt$$

 

가 되고, 이로 부터 자코비안 행렬의 행렬식은

 

$$det(J) = \big(1 + \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} dt \big) \big(1 + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} dt \big) - \frac{\partial \dot{p}}{\partial q} \frac{\partial \dot{q}}{\partial p} (dt)^2$$

$$= 1 + \big( \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} \big) dt + \big( \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} - \frac{\partial \dot{q}}{\partial p} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} \big) (dt)^2$$

 

를 얻습니다. 따라서, 면적소의 차이는 

$$S(t+dt) - S(t) = dq'dp' - dqdp = \Big(\big( \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p}\big) dt + \big(\frac{\partial \dot{q}}{\partial q} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} - \frac{\partial \dot{q}}{\partial p} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} \big) (dt)^2\Big) dqdp$$

 

와 같고, 이로 부터

$$\frac{1}{dqdp}\frac{dS}{dt}= \lim_{dt \rightarrow 0} \big( \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p}\big) + \big(\frac{\partial \dot{q}}{\partial q} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} - \frac{\partial \dot{q}}{\partial p} \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} \big) dt$$

$$ = \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p}$$

 

를 얻습니다. 위 최종식의 $\dot{q}, \dot{p}$ 에 해밀토니안 운동 방정식 $\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$, $\dot{p} = \frac{\partial H}{\partial q}$ 를 대입하면, 

 

$$\frac{1}{dqdp}\frac{dS}{dt}= \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial q} (\frac{\partial H}{\partial p}) - \frac{\partial}{\partial p} (\frac{\partial H}{\partial q}) = \frac{\partial ^2 H}{\partial q \partial p}  - \frac{\partial ^2 H}{\partial p \partial q} = 0$$

 

을 얻습니다. 즉, 시간의 흐름에 따른 위상 공간에서 면적소의 변화량은 0 입니다. 다시 말하면, 위상 공간에서 해밀토니안 운동 방정식에 따라 위상 공간의 영역이 움직이는 경우, 영역의 넓이(일반화 하면) 부피는 변하지 않습니다. 

 

이는 곧, 위상 공간에서 해밀토니안 운동 방정식에 따라 움직이는 영역의 움직임은 압축 되지 않는 유체의 움직임과 같다고 볼 수 있고, 압축 되지 않는 유체의 연속 방정식을 위상 공간에 그대로 적용하면, 

 

$$\frac{d \rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} +\frac{\partial \rho}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial \rho}{\partial p} \dot{p} = 0$$

 

를 얻을 수 있습니다. 위 결과를 리우빌 정리라고 합니다. 사실, 위 과정은 리우빌 정리를 증명한 것 입니다. 

 

유한한 크기의 유체가 유한한 크기의 영역에서 흘러 다닌다면...

 

이제 맨 앞부분에서 언급한 푸앵카레 재귀정리를 증명하기 위한 보조 정리라고 할 수 있는 (3)을 증명하도록 하겠습니다. (1)과 (2)를 우아하게 증명하기 위해서는 물리학과 대학원 수준의 고전 역학에 대한 지식이 필요했다면, 역시 (3)을 우아하게 증명하기 위해서는 수학과 학부 전공 수준의 측도 이론에 대한 지식이 필요합니다. 하지만, 이 포스팅에서 그걸 모두 설명하기란 너무 어려우니, 매우 수학적으로 정교한 부분은 증명하지 않고 우리에 직관에 의존 하도록 하겠습니다. 

 

앞에서 증명한 리우빌 정리로 부터 위상 공간에서 어떤 영역의 움직임은 압축되지 않는 유체의 움직임과 수학적으로 동등하다는 것을 알 수 있었습니다. 따라서 다음과 같은 경우를 상상해 보겠습니다. 

 

유한한 넓이의 바닥에 유한한 양의 물이 쏟아져 있습니다. 이 물은 이리 저리로 흘러 갑니다. 시간이 계속 흐르면 물이 훑고 지나간 넓이(즉 바닥에서 물이 묻어있는 넓이)는 계속 해서 넓어질 것이며, 바닥의 넓이가 유한하기 때문에 언젠가는 이전에 흘러갔던 곳을 다시 거칠 수 밖에 없습니다. 이전에 흘러갔던 곳을 다시 거치지 않는다면, 물이 훑고 지난간 넓이는 시간이 커짐에 따라서 무한히 커질 테니, 바닥의 넓이가 유한하다는 것에 모순이 생깁니다. 

 

위 비유를 실제 위상 공간에 적용하면 어떻게 될까요?

 

위상 공간의 위치(position) 차원의 영역은 시스템의 물리적 크기에 의해 그 크기가 제한됩니다. 무한한 공간이 가능하지 않다면, 물체가 움직일 수 있는 위치 공간은 항상 유한합니다. 운동량(momentum) 차원의 영역은 시스템의 에너지 보존 법칙에 의해 그 크기가 제한됩니다. 시스템의 총 에너지는 항상 유한하기 때문에, 시스템이 가질 수 있는 운동량의 크기 역시 유한 합니다. 이는 위 예시에서 물이 흘러갈 수 있는 바닥의 넓이가 유한한 것과 같습니다. 

 

운동 정식에 의해서 위상 공간의 영역은 계속 해서 움직이며, 멈춰 있을 수 없습니다. 따라서 위 예시에서 계속 해서 흘러가는 물과 같이 계속해서 움직일 수 밖에 없습니다. 위상 공간의 영역이 시간이 지남에 따라서 훑고가는 영역은 계속 해서 커지기 때문에, 언젠가는 이전에 훑고 지나갔던 영역을 다시 지날 수 밖에 없습니다. 이는 곧, 과거의 어떤 시점의 시스템의 상태와 거의 동일한 상태로 시스템이 옮겨진다는 것 입니다! 이 과정에 걸린 시간을 푸앵카레 재귀시간이라고 합니다. 

 

푸앵카레 재귀시간은 위상 공간의 크기, 입자의 개수 등에 따라 크게 달라 집니다. 아무래도 시스템의 입자수 (자유도)가 많고, 시스템이 점유 할 수 있는 위상 공간의 넓이가 넓을 수록 이에 따라 푸앵카레 재귀시간 역시 매우 커질 것 입니다. 

 

섞였던 것이 다시 분리 될 수 있다 : 엔트로피가 낮아 질 수 도 있다

 

푸앵카레 재귀정리를 극단적인 상황에 적용하면 열역학 제2법칙, 즉 엔트로피는 항상 커진다, 에 위배되는 결과가 얻어집니다. 예를들어서 물이 담긴 컵에 검은색 잉크를 떨어트린 것을 생각해 보겠습니다. 초기 상태에는 잉크는 퍼지지 않고 잉크끼리는 한 구석에 몰여 있을 것 입니다. 시간이 지나면 자연스럽게 잉크는 물 컵 전체에 퍼지게 되고, 물은 검은색으로 변할 것 입니다. 푸앵카레 재귀정리에 따르면 충분한 시간이 지나면, 그 충분한 시간은 매우 길겠지만 유한한 시간, 시스템은 초기 상태와 매우 유사한 상태로 돌아 올 수 있습니다. 즉, 푸앵카레 재귀시간 만큼이 지나면 물은 다시 투명한 색이 되며, 물 컵 안에 고루 퍼져있던 잉크는 물에 섞기기 이전 잉크의 상태로 돌아가게 됩니다. 엔트로피가 높았던 상태에서 시간이 충분히 흐르고 난 뒤, 엔트로피가 낮은 (초기) 상태로 돌아간 것인데... 열역학 제2 법칙과 위배된 결과가 얻어진 것 입니다. 푸앵카레 재귀정리와 열역학 법칙은 상호 모순적인 법칙일까요?

 

정말로 푸앵카레 재귀시간이 지나면 지금 이 순간으로 돌아 올 수 있을까?

 

(개인적인 의견이지만) 푸앵카레 재귀정리라는 것을 처음 접하고 매우 놀랐습니다. 고전 역학 법칙에 따르면 매우 길지만 유한한 시간이 흐르면 현재 이 순간과 매우 유사한 상태로 다시 돌아 올 수 있다는게 믿어지지 않지만, 엄연히 수학적으로 증명된 정리이기에 마음으로는 믿어지지가 않지만 머리로는 받아 들일 수 밖에 없는 상황에 빠졌습니다. 실제 우리 우주는 무한할 정도 넓고, 그 안에는 무한할 정도로 많은 물질들이 있습니다. 그렇기 때문에 푸앵카레 재귀시간 역시 무한할 정도로 길 것입니다.