[고전역학-7] 해밀턴 역학 : 해밀턴-야코비 방정식

정준 변환의 생성자 복습

 

지지난 포스팅에서는 정준 변환을, 지난 포스팅에서는 정준 변환을 비교적 쉽게 얻을 수 있는 방법중에 하나인 정준 변환의 생성자에 대해서 알아보았습니다. 정준 변환의 생성자는 말 그대로 정준 변환을 생성해 주는 함수로, 이 함수만 정의하면 위상 공간에서의 좌표 변환 $(q, p) \rightarrow (Q, P)$ 가 정준 변환이 되도록 만들어 주는 방법이 있었습니다. 그 중에서 가장 유용한 생성자는 $q, P$를 변수로 하는 함수 $F(q, P)$로, $F(q, P)$에 대해서,

$$p = \frac{\partial F}{\partial Q}$$

$$Q = \frac{\partial F}{\partial P}$$

와 같이 정준 변환을 정의하면, 이 변환은 정준 변환이 됩니다. $p = p(q, P), Q = Q(q, P)$와 같이 $q, p$와 $Q, P$의 관계식이 implicity 한 방법으로 정의가 됩니다. 

 

적절한 정준 변환을 찾으면, 문제가 간단해 진다

 

주어진 해밀토니안 $H(q,p)$에서 정준 변환을 통해 $(q, p) \rightarrow (Q, P)$로 위상 공간의 좌표 변환을 통해 얻어진 해밀토니안 $H(Q,P)$가 매우 간단한 형태가 된다면, $Q(t), P(t)$를 쉽게 풀 수 있고, 역변환을 이용하여 $q(t), p(t)$를 최종적으로 구할 수 있습니다. 지난 포스팅에서 단조화진동자이 해밀토니안 $H(q, p) = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}q^2$의 경우, 변환 $q = \sqrt{2P} \sin Q, p = \sqrt{2P} \cos Q$ 에 의해서 해밀토니안 $H(Q,P) = P$가 얻어짐을 확인하였습니다. 

 

일반적인 해밀토니안 $H(q,p)$에 대해서 위와 같이 변환된 해밀토니안 $H(Q,P)$를 간단하게 만들어 주는 정준 변환이 존재한다면, 우리는 어려움 없이 역학 문제를 풀 수 있을 것 입니다. 즉 $(q,p)$ 위상 공간에서 운동 방정식을 푸는 문제는 $(Q, P)$ 공간에서 매우 간단한 형태의 해밀토니안이 되도록 하는 정준 변환 $(q, p) \rightarrow (Q, P)$를 찾는 문제로 바뀌게 된 것 입니다. 

 

어려운 문제를 형태가 다른 어려운 문제로 바꾼 것인데... 위 문단에서 말한 변환된 공간 $(Q, P)$에서 정의된 해밀토니안 $H(Q, P)$가 간단한 형태가 되게 하는 정준 변환은 어떻게 구하면 될까요? 

 

생성 함수 $F = F(q, P)$에 대응되는 정준 변환에 의한 해밀토니안의 변화

 

생성 함수 $F = F(q, P)$는 앞서 언급한 형태의 정준 변환에 대응됩니다. 이 정준 변환에 의해서 해밀토니안 $H(q, p) \rightarrow H(Q, P)$로 변화 될텐데, 변환된 해밀토니안 $H(Q,P)$는 어떤 형태가 될까요? 이 문제의 답은 증명 없이 받아 들이기도 하겠습니다. 그 답은 

$$H(Q,P;t) = H(p,q;t) + \frac{\partial F}{\partial t}$$

입니다. 해밀토니안과 생성 함수가 일반적으로 시간에 의존하는 함수이기 때문에 $t$ 를 표시하였습니다.

 

해밀턴-야코비 방정식 : 해밀토니안을 0으로 만들어 주는 정준 변환의 생성자를 구하는 편미분 방정식

 

변환된 해밀토니안 $H(Q,P)$가 간단하면 간단할수록 $(Q, P)$에 대한 운동 방정식을 풀기 쉬워집니다. 가장 극단적인 경우는 $H(Q, P)$가 0 이 되는 경우인데, 만일 그렇다면

$$\dot{Q} = \frac{\partial H}{\partial P} = \frac{\partial 0}{\partial P} = 0$$

$$\dot{P} = -\frac{\partial H}{\partial Q} = -\frac{\partial 0}{\partial Q} = 0$$

으로 부터 $Q(t) = Q_0  \text{ (constant)}, P(t) = P_0 \text{ (constant)}$ 를 얻게 됩니다! 일반적인 해밀토니안에서는 이 해밀토니안에 의해서 위상 공간의 점 $(q, p)$가 시간에 따라서 움직이지만, 해밀토니안이 완전이 0 (zero)가 된다면, 초기에 정해진 위상 공간의 점 $(q_0, p_0)$에서 움직이지 않고 항상 그 점에 존재하게 됩니다. 시스템의 time evolution 이 사라진 것 입니다. 

 

$Q(t) = Q_0  \text{ (constant)}, P(t) = P_0 \text{ (constant)}$라는 답을 얻었으니, 역변환을 이용하여 $q(t), p(t)$를 바로 얻을 수 있습니다. 

 

생성자 $F$에 의해서 $H(Q, P)$가 $H(Q, P; t) = H(p, q; t) + \frac{\partial F}{\partial t}$ 와 같이 변하니, 곧 $H(Q, P;t)=0$이 되게 하는 생성자 $F$는 미분 방정식 $H(p, q;t) + \frac{\partial F}{\partial t} = 0$ 을 만족시켜야 합니다. 생성자 $F$에 의한 $p$의 변환이 $p = \frac{\partial F}{\partial q}$와 같이 주어지기 때문에, 이를 바로 위 식에 대입하면, 생성자 $F$에 대한 미분 방정식 

$$H \Big( q, \frac{\partial F}{\partial q} \Big) + \frac{\partial F}{\partial t} =0$$

을 얻습니다. 이 방정식을 해밀턴-야코비 방정식이라고 합니다. 

 

요약하면, 해밀턴-야코비 방정식은 변환된 위상 공간에서의 해밀토니안 $H = H(Q, P)$가 0이 되도록 만들어 주는 정준 변환의 생성자 함수 $F$가 만족시켜야 하는 편미분 방정식입니다. $H(Q, P)=0$이 되면 문제는 모두 푼 것과 다름이 없기에, $F$를 찾으면 역시 역학 문제를 모두 푼것과 마찬가지가 됩니다. 

 

해밀턴-야코비 방정식의 해로 부터 운동 방정식을 해를 얻기

 

위 미분 방정식은 변수 $q$와 $t$에 대한 1계 미분 방정식으로, 따라서 위 미분 방정식을 풀면 2개의 적분 상수가 얻어집니다. 이 2개이 적분 상수를 편의상 $\alpha, \tau$라고 한다면, 해 $F$를 $F = F(q, \alpha, \tau; t)$라고 놓을 수 있습니다.  $F' = F + \tau$ 에 대해서 $F'$이 역시 해가 되므로 $F$의 2개의 적분 상수 중, 하나의 적분 상수는 항상 $F$에서 상수항 만큼 더하는 것이라는 것을 알 수 있습니다. 우리가 $F$를 구하는 이유는 이 $F$를 미분하여 정의되는 정준 변환을 얻기 위함이므로, 상수항의 유무는 정준 변환에 아무런 영향을 주지 않습니다. 따라서, $F = F(q, \alpha, t)$라고 놓을 수 있습니다. 

 

생성자 $F$는 $q, P$의 함수로 가정하였고, $(Q, P)$ 공간으로 변환된 해밀토니안 $H(Q, P)$는 0 이기 때문에, $Q(t) = Q_0, P(t) = P_0$와 같이 $Q, P$는 상수가 됨을 앞에서 알아보았습니다. 따라서, 적분 상수 $\alpha$를 $P = P_0$라고 놓을 수 있습니다. 

 

생성자 $F$에 의해 정의되는 정준 변환 $p = \frac{\partial F}{\partial q} = \frac{\partial F(q, \alpha, t)}{\partial q}$, $Q = \frac{\partial F(q, \alpha, t)}{\partial \alpha}$ 인데, $Q$ 역시 상수 이기 때문에 이 상수 값은 $\beta$라고 놓으면, $\beta = \frac{\partial F(q, \alpha, t)}{\partial \alpha}$ 를 얻습니다. 다시 한 번 강조하면, $(\alpha, \beta) = (P_0, Q_0)$이며 초기 조건에 의해 결정되는 상수값을 갖습니다. 이 식은 $q$를 $\alpha, \beta$에 대한 함수로 implicit 하게 정의하고 있는데, 이를 explict한 형태로 다시 쓰면, $q(t) = q(\alpha, \beta, t)$가 됩니다. 즉, $P, Q$의 초기 조건 $(= \alpha, \beta)$에 의해서 $q(t)$가 결정되는 것 입니다. 이 $q(t)$식을 위 $p(t)$에 대한 미분식에 대입하면, $p(t) = p(\alpha, \beta, t)$와 같이 $p(t)$ 역시 $P, Q$의 초기 조건에 대한 explicit 한 함수의 형태로 나타낼 수 있습니다. 

 

(자유도가 $n$인 시스템을 다룬다면, ) 라그랑주 방정식을 이용하여 운동 방정식의 해를 구하는 과정에서 최종적으로 풀어야 하는 문제는 시간에 대한 2계 미분이 있는 $n$개의 식으로 이루어진 연립 미분 방정식이었습니다. 이 문제를 해밀턴 방정식을 이용하여 풀면, 시간에 대한 1계 미분이 있는 $2n$개의 식으로 이루어진 연립 미분 방정식을 풀어야 했습니다. 똑같은 문제를 해밀턴-야코비 방정식을 이용하여 풀면, 최종적으로 풀어야 하는 미분 방정식은 $n$개의 변수에 대해 1계 미분이 있는 1개의 식으로 이루어진 편미분 방정식 입니다. 단 하나의 방정식이 시스템의 모든 자유도를 결정합니다. 각 자유도별로 미분 방정식이 따로 주어지는 라그랑주 방정식이나 해밀턴 방정식과는 판이하게 다릅니다. 라그랑주의 방법, 해밀턴의 방법, 해밀턴-야코비의 방법으로 문제를 푸는 방식이 바뀌면서, 이에 대응되는 최종적으로 풀어야 하는 미분 방정식의 형태 역시 바뀌었습니다. 이를 요약하면 아래 표와 같습니다. 이것이 핵심입니다.

 

	라그랑주 방정식	해밀턴 방정식	해밀턴-야코비 방정식
독립 변수	$t$ (1개)	$t$ (1개)	$q_1, q_2, ..., q_n$ ($n$개)
종속 변수	$q_1, q_2, ..., q_n$ ($n$개)	$q_1, q_2, ..., q_n, p_1, p_2, ..., p_n$ ($2n$개)	$W = W(q_1, q_2, ..., q_n, \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$ (1개)
미분 형태	$\frac{d^2}{dt^2}$	$\frac{d}{dt}$	$\frac{\partial }{\partial q_i}$
미분 방정식	$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\dot{q_i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \text{for }i=1, ..., n$ (n개의 연립 미분 방정식)	$\dot{q} =\frac{\partial H}{\partial p}$ $\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}$ for $i=1, ..., n$ (2n개의 연립 미분 방정식)	$H(q_1, ..., q_n, \frac{\partial W}{\partial q_1}, ..., \frac{\partial W}{\partial q_n}) = 0$ (1개의 미분 방정식)
초기 조건	$q_i(0), \dot{q}_i(0)$ for $i=1, ..., n$	$q_i(0), p_i(0)$ for $i=1, ..., n$	$\alpha_1, ..., \alpha_n$

 

일단 한 번 예제 문제를 풀어 보자

 

여전히 아직까지도 왜 이런 방정식을 유도하였고, 왜 이 방정식을 통해서 고전 역학의 문제를 풀어야 하는지에 대해 감이 잡히지 않을 것 입니다. 이럴 때는 가장 간단한 역학 시스템인 단조화진동자 시스템에 대해서 문제를 풀어 보는 수 밖에 없습니다. 

 

단조화진동자 해밀토니안 $H = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}q^2$에 대한 해밀턴-야코비 방정식은

$$\frac{1}{2} \Big( \frac{\partial F}{\partial q}\Big)^2 + \frac{1}{2}q^2 + \frac{\partial F}{\partial t}= 0$$

입니다. 

 

이 방정식의 해가 $F = W-\alpha t$ 의 형태라고 가정하고 위 식에 $F$를 대입하면(이와 같이 함수의 형태를 가정하는 것은 편미분 방정식을 푸는 기본적인 방법입니다. 라플라스 방정식이나 헬름홀츠 방정식을 풀 때, 변수 분리를 하는 것과 같은 이치입니다),

$$\frac{1}{2} \Big( \frac{\partial W}{\partial q} \Big)^2 + \frac{1}{2}q^2 = \alpha$$

를 얻습니다. 이 식은 $W$의 편미분 방정식 입니다. 위 식을 $W$에 대해서 정리하면, 

$$\frac{\partial W}{\partial q} = \sqrt{2 \alpha} \sqrt{1 - \frac{q^2}{2\alpha}}$$

를 얻을 수 있고, 위 식을 $q$에 대해서 적분하면, 

$$W = \sqrt{2 \alpha} \int \sqrt{1- \frac{q^2}{2\alpha}}dq$$

를 얻습니다. 따라서 $F = W- \alpha t$에 의해서 해밀턴-야코비 방정식의 해

$$F = \sqrt{2 \alpha} \int \sqrt{1- \frac{q^2}{2\alpha}}dq - \alpha t$$ 

를 얻습니다. 

 

$q(t) = q(\alpha, \beta, t)$를 얻기 위해서 $\beta = \frac{\partial F}{\partial \alpha}$ 를 구하면, 

$$\beta = \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \int \frac{dq}{\sqrt{1 - \frac{q^2}{2\alpha}}} -t$$

를 얻고, 위 식을 적분하면, 

$$t + \beta = \arcsin \frac{q}{\sqrt{2 \alpha}}$$

를 얻습니다. 위 식을 $q$에 대한 식으로 정리하면

$$q(t) = \sqrt{2 \alpha} \sin (t+\beta)$$

를 얻게 됩니다. $p = \frac{\partial F}{\partial q}$를 통해서 $p$를 구하면,

$$p(t) = \sqrt{2\alpha - q^2} = \sqrt{2\alpha} \cos (t + \beta)$$

를 얻습니다.

 

수학적으로 본다면, 적분 상수이자 물리학적으로 본다면 보존량인 $\alpha, \beta$가 결정되면 $q(t), p(t)$가 결정되는 것입니다. 위 $q(t), p(t)$식에서 $\beta$를 소거하면,

$$2\alpha = p^2 + q^2 \rightarrow \alpha = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}q^2 = E$$

가 됩니다. 오른쪽 항은 시스템의 역학적 에너지로 이 값이 보존된다는 것은 자명합니다. 생성자 $F$에 의한 정준 변환에서 변환된 좌표의 $\alpha = P$는 시스템이 총에너지 입니다. 같은 방법으로 $\alpha$를 소거하여 $\beta$에 대한 식을 구하면,

$$\beta = \arctan \frac{q_0}{p_0}$$

가 되는데, 이 값은 초기 상태의 위치와 운동량의 비율에 따라 정해지는 값 입니다. $\beta$가 시간 $t$와 같은 역할을 하면서 삼각함수의 argument 가 되기 때문에, $\beta$는 위상이라고도 할 수 있습니다. 

 

위 과정을 요약하면

 

(1) 시스템의 해밀토니안 $H(q, p, t)$를 세운다.

(2) 해밀턴-야코비 방정식 $H(q, \frac{\partial F}{\partial q}) + \frac{\partial F}{\partial t} = 0$ 를 세운다.

(3) 만일 해밀토니안 $H(q, p, t)$ 가 시간에 무관한 함수라면, $F = W(q, \alpha) - \alpha t$라고 가정할 수 있고, $W(q, \alpha)$에 대한 미분 방정식을 푼다.

(4) 생성자 $F$와 정준 변환의 관계식 $\beta = \frac{\partial F(q, \alpha, t)}{\partial \alpha}, p = \frac{\partial F(q, \alpha, t)}{\partial q}$ 를 이용해서 $q(t) = q(\alpha, \beta, t), p(t) = p(\alpha, \beta, t)$를 푼다

 

입니다. 

 

실제로 구해야하는 함수는 $W(q, \alpha)$로, $W$를 구하기 위해서는 $W$를 $q$로 한 번 미분한 식이 들어있는 미분 방정식 (해밀턴-야코비 방정식에서 $F = W - \alpha t$로 가정했을 때, $W$의 식)을 풀어야 합니다. 라그랑주 방정식과 해밀턴 방정식에서는 $\frac{dq}{dt}, \frac{d^2q}{dt^2}$와 같이 위치(혹은 운동량)을 시간에 대해서 1계 미분 혹은 2계 미분한 미분 방정식을 풀어야 했다면, 해밀턴-야코비 방정식에서는 $q$의 함수인 $W$가 $\frac{\partial W}{\partial q}$와 같이 $q$에 대해서 1계 미분한 편미분 방정식을 풀어야 합니다. 풀어야 하는 수학적인 문제가 완전히 바뀐 것 입니다. 

 

문제의 형태가 완전히 바뀌었다

 

라그랑지 방정식과 해밀턴 방정식은 무척 다릅니다. 라그랑지 방정식은 일반화 좌표를 시간으로 두 번 미분한 미분 방정식인 반면, 해밀턴 방정식은 일반화 좌표와 그에 대응되는 운동량을 각각 시간으로 한 번 미분한 연립 미분 방정식 입니다. 위 두 방정식은 변수의 갯수, 시간에 대한 미분의 횟수가 다르긴 하지만 결국 최종적으로 알고 싶은 물리량을 시간으로 미분한 미분 방정식을 풀어야 한다는 공통점이 있습니다. 

 

하지만, 해밀턴-야코비 방정식의 수학적 형태는 이 둘과 완전히 다릅니다. 해밀턴-야코비 방정식은 위치와 운동량을 시간의 함수로 구하는 방정식이 아닌, 위치와 운동량의 함수인 $F$를 구하는 식 입니다. $F$는 $q, \alpha$의 함수인데 $\alpha$는 변수가 아니라 상수이니 결국 $F$는 위치의 함수 $F(q)$입니다. $F$는 위치 $q$의 함수이기 때문에 일종의 필드(Field)라고 볼 수도 있고, 따라서 해밀턴-야코비 방정식은 위치 공간에서 정의된 필드에 대한 방정식 입니다. 입자의 위치(나 운동량)을 시간에 따라 구하기 위해서는 각 위치마다 함수값이 정의된 필드의 방정식을 풀어야 한다는 것이 매우 새롭습니다.