[고전역학-6] 해밀턴 역학 : 정준 변환의 생성자 (Generator)

정준 변환 복습

 

지난 포스팅에서는 정준 변환에 대해서 알아보았습니다. 정준 변환은 위상 공간의 좌표 변환인데, 변환된 공간의 좌표에서 해밀턴 운동 방정식의 형태를 보존하는 좌표 변환입니다. 정준 변환의 예로 (1)위치와 운동량 좌표를 바꾸는 변환과 (2)단조화진동자의 해밀토니안을 매우 간단히 변화 시키는 변환을 알아보았습니다. 아주 간단하면서도 중요한 정준 변환을 알아 보았으니, 이번 포스팅에서는 일반적으로 정준 변환을 만드는 방법을 알아 보도록 하겠습니다. 

 

정준 변환의 조건을 변환의 야코비 행렬로 표현하면?

 

별다른 조건이 없는 임의의 변환 $(q, p) \rightarrow (Q, P)$가 정준 변환이 될 가능성은 거의 없습니다. (이 포스팅에서도 편의를 위해서 자유도가 1인 시스템의 위상 공간을 생각하도록 하겠습니다. 일반적인 자유도의 경우는 쉽게 일반화 할 수 있습니다) 정준 변환은 일반적인 변환 중에서 특정한 요건을 갖춘 변환이기 때문입니다. 정준 변환의 조건을 다시 쓰면, 변환 $(q, p) \rightarrow (Q, P)$과 이에 대응되는 야코비 행렬 $M_{ij} =  \begin{pmatrix}\frac{\partial Q}{\partial q}&\frac{\partial Q}{\partial p}\\\frac{\partial P}{\partial q}&\frac{\partial P}{\partial p}\end{pmatrix} $이 있을 때, 이 변환이 정준 변환이 되기 위해서는 

$$MJ\widetilde{M} = J, J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} $$

이 성립 돼야 합니다. 아코비 행렬 $M$을 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$로 놓고, 위 조건식에 바로 대입하면,

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}   \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} $$

이 되고, 좌변을 정리하면

$$\begin{pmatrix}ab-ba&ad-bc\\bc-ad&cd-dc\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

를 얻습니다. 즉, 야코비 행렬 $M$의 성분이 $ad-bc=1$을 만족한다면, 야코비 행렬 $M$에 의한 변환은 정준 변환이 됩니다. 

 

$ad-bc=1$를 만족하는 특수한 경우

 

야코비 행렬의 성분이 $ad-bc=1$을 만족시키는 경우 중, $d = \frac{1}{a}, b=0 \text{ or } c=0, a \ne 0$ 인 경우를 우선 생각해 보도록 하겠습니다. 이 부류의 변환은 일반적인 정준 변환 중 일부분입니다. 이 조건을 다시 풀어서 쓰면,

$$\frac{\partial Q}{\partial q} = \Big(\frac{\partial P}{\partial p}\Big)^{-1} = \frac{\partial p}{\partial P}$$

$$\frac{\partial Q}{\partial p}=0 \text{ or } \frac{\partial P}{\partial q}=0$$

입니다. 

 

우리는 지금까지 $Q = Q(q,p)$, $P = P(q,p)$와 같이 $Q$와 $P$가 $(q, p)$에 대해 explicit하게 정의된다고 생각했지만,  $Q = Q(q,P), p = p(q, P)$와 같이 $Q, p$가 $q, P$에 의해 explicit하게 정의된다고도 할 수 있습니다. 이 방식을 택하면 위 조건을 만족시키는 경우를 더 쉽게 찾을 수 있습니다. 

 

만일 $q$와 $P$의 함수 $F(q,P)$가 있어서 $p = \frac{\partial F}{\partial q}$, $Q = \frac{\partial F}{\partial P}$와 같이 정의할 수 있다면, $\frac{\partial^2 F}{\partial q \partial P} = \frac{\partial^2 F}{\partial P \partial q}$의 성질에 따라서 위 첫 번째 조건을 항상 만족할 수 있습니다. 이 경우엔 $Q$가 $p$와 무관한 함수이기 때문에, 두 번째 조건 역시 자연스럽게 성립됩니다. 

 

위 결과를 요약하면, $q$와 $P$의 함수 $F(q,P)$에 대해서, $p = \frac{\partial F}{\partial q}$, $Q = \frac{\partial F}{\partial P}$로 $(q, p) \rightarrow (Q, P)$를 정의한다면, 이 변환은 항상 정준 변환이 됩니다. 위 변환식은 $Q, P$를 $q, p$의 함수로 explicit 하게 정의한 것은 아니고, 함수 $F(q, P)$를 이용하여 implicity 하게 정의한 것입니다. 함수 $x \rightarrow y$를 $y = f(x)$와 같이 explicity 하게 $y$의 $x$에 대한 의존성을 정의할 수 도 있지만, $g(x,y)=0$과 같이 implicity한 방법으로 $y$의 $x$에 대한 의존성을 정의한 것과 유사하다고 볼 수 있습니다. 

 

위 변환에서 함수 $F = F(q,P)$를 정준 변환의 생성자(generator)라고 합니다. 왜냐하면 하나의 함수 $F$가 하나의 정준변환 $(q,p) \rightarrow (Q, P)$를 (implicity 한 방식으로) 생성하기 때문입니다. 

 

생성자 $F(q, P)$에 의해 생성되는 정준 변환의 예시

 

임의의 $F(q,P)$에 대한 변환은 모두 정준 변환이 되지만, 간단한 예시를 들어 보도록 하겠습니다. $F(q, P) = q^2P$로 정의한다면, 위 정의에 따라서,

$$Q = \frac{\partial F}{\partial P} = q^2$$

$$p = \frac{\partial F}{\partial q} = 2qP$$

가 됩니다. 두 번째 식을 $P$에 대한 식으로 정리하면,

$$P = \frac{p}{2q}$$

를 얻습니다. 즉 위상 공간에서의 변환 $(q, p) \rightarrow (Q, P) = (q^2, \frac{p}{2q})$를 얻습니다. 이 변환이 정준 변환이 되는지를 확인하는 것은 매우 간단한데, 이 변환에 의한 야코비 행렬은 $M = \begin{pmatrix}2q&0\\-\frac{p}{2q^2}&\frac{1}{2q}\end{pmatrix}$ 임을 쉽게 확인할 수 있고, 이 행렬은 $ad-bc=1$를 만족 시킵니다. 곧 위 변환은 정준 변환입니다. $H(q,p) = \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}q^2$이었다면, $H(Q, P) = 2QP^2 + \frac{1}{2}Q$가 됩니다. $H(Q,P)$ 자체는 특별한 물리적 의미를 찾기가 힘듭니다. 반대로 $(q,p)$ 좌표에서 $H(q,p) = 2qp^2 + \frac{1}{2}q$와 같이 정의 돼 있었다면, 위 변환을 통해서 $H(Q,P) = \frac{1}{2}P^2 + \frac{1}{2}Q^2$로 변환을 하여 $(Q, P)$ 좌표 공간에서 문제를 쉽게 풀었을 것 입니다. 

 

다른 형태의 생성자

 

위 생성자 $F(q,P)$와 이 생성자에 의한 정준 변환은 야코비 행렬이 특수한 형태를 만족하는 경우에 유도된 것 입니다. 따라서 비슷한 방식으로 다른 특수한 형태를 만족하는 경우에 해당하는 생성자를 찾을 수 있습니다. 

 

생성자가 $F(q, Q)$와 같이 $q, Q$를 독립 변수로 하는 경우, 이 때의 $F(q, Q)$에 의해 생성되는 정준 변환은 $p = \frac{\partial F}{\partial q}, P = -\frac{\partial F}{\partial Q}$가 됩니다. 생성자가 $F(p, Q)$와 같이 $p, Q$를 독립 변수로 하는 경우 이 때의 $F(p, Q)$에 의해 생성되는 정준 변환은 $q = -\frac{\partial F}{\partial p}, P = -\frac{\partial F}{\partial Q}$가 됩니다. 또 다른 형태의 생성자 $F(p, P)$를 생각할 수 있는데, 이때의 $F(p, P)$에 의해 생성되는 정준 변환은 $q = -\frac{\partial F}{\partial p}, Q = \frac{\partial F}{\partial P}$가 됩니다. 각 경우에 대해서 예시를 만들어서 실제로 정준 변환이 어떻게 이루어 지는지를 한 번씩 해 보면 좋은 연습이 될 것 같습니다. 

 

어떤 생성자 $F$에 의한 정준 변환이 좋은 변환이 되는가?

 

지난 포스팅의 결론은 좋은 정준 변환을 취하면 해밀토니안이 매우 간단해 지기 때문에, 운동 방정식을 풀기 쉽다. 그러나 임의의 문제에서 좋은 변환을 찾기는 어렵다 였습니다. 정준 변환의 생성자에 대해서 알기 전 까지는 좋은 변환을 찾기 위해서 $Q(q,p), P(q,p)$를 이것 저것 바꾸어 가면서 $H(Q,P)$가 간단한 형태가 되도록 만들었습니다. 이번 포스팅에서는 정준 변환을 생성하는 생성자에 대해서 공부했기 때문에, 이제는 $F(q,P)$를 바꾸어 가면서 $H(Q, P)$가 간단한 형태가 되도록 $F(q,P)$를 찾는 문제로 바꾸었습니다. 그러나 일반적인 문제에 대해서 어떠한 $F(q,P)$를 이용하여 정준 변환을 해야하는지에 대해서는 여전히 모르고 있습니다. 어떤 $F$를 선택하면 해밀토니안을 매우 간단하게 만드는 정준 변환을 정의할 수 있을까요? 아직 갈길은 멀지만, 조금씩 그 해답에 가까워 지는 것 같기는 합니다.