The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.
-Sydney Coleman
양자역학에서 대칭성은 매우 핵심적인 개념입니다. 학부 수준에서 배우는 양자물리에서의 대칭성은 단지 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있는 방법을 제공하는 수준에서 그치는 경우가 많지만, 양자장론이나 그 보다 심도있는 수준의 양자물리학에서 대칭성은 어쩌면 양자역학 혹은 더 과장한다면 물리학 그 자체라고도 볼 수 있습니다. 물리학에서 매우 중요한 개념중에 하나인 "보존 법칙"은 대칭성을 조금 다른 방식으로 표현한 것이라고 볼 수 있습니다. 하지만 안타깝게도 "대칭성이 물리학의 그 자체" 임을 느끼기 위해서는 상당한 수준의 물리학적 지식이 필요하고, 이 글을 쓰고 있는 저 역시도 그에 대해서는 자세히 알지 못 합니다.
천리길도 한 걸음 부터라고, 어려운 것을 알기 위해서는 쉬운 것을 정확하게 이해하고 넘어가는 것이 중요한데요, 그래서 이번 포스팅에서는 대칭성을 잘 이용하면 문제를 매우 쉽게 풀 수 있음을 간단한 예제 문제를 통해서 알아 보려고 합니다. "간단한 예제 문제" 라고 하면 다양한 문제가 있을 수 있으나, 조금이라도 물리를 공부하신 분이라면 그러한 문제는 단조화 진동자 임을 쉽게 알아 챌 수 있습니다. 1차원 단조화진동자 문제는 너무 단순하니, 이번 포스팅에서는 2차원 단조화 진동자를 다루도록 하겠습니다.
문제를 간단하게 하기 위해서 단위를 적절히 선택하면 2차원 단조화 진동자 문제의 해밀토니안을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
1차원 단조화 진동자에 대해서는 매우 잘 알고 계실텐데요, 2차원 단조화 진동자는 1차원 단조화 진동자의 합으로 볼 수 있습니다.
이라는 것을 알고 계실 것 입니다.
이 문제의 포텐셜 에너지를 다시 쓰면
바로 위 문단에서 설명한 바와 같이, 해밀토니안이
좀 더 일반적으로 논의를 해 보도록 하겠습니다. 우선 위 해밀토니안의 대칭성을 찾아 보도록 하겠습니다. "대칭성을 찾는다"라는 것에 익숙하지 않을 수도 있는데, 쉽게 생각해서 "보존량을 찾는다" 라고 생각하면 됩니다. 양자역학 문제에서 보존량을 찾는것이 힘들다면, 고전역학의 문제에서 보존량을 찾는다고 생각해도 됩니다. 고전역학 문제에서 보존량을 찾은 다음에, 그것을 양자역학적인 연산자(operator)로 바꿔 놓으면 되니까요.
가장 쉽게 찾을 수 있는 보존량은 앞서 설명한대로 각운동량 입니다. 2차원 단조화 진동자 문제는 중심력장(central force field) 문제이기 때문에, 각운동량이 보존됩니다. 중심력장 하에서의 물체의 운동에서 각운동량이 보존되는 것은 고전역학의 아주 기본적인 정리 중 하나 입니다. 물체의 운동이 2차원에 국한 돼 있기 때문에, 각 운동량의 방향은
각 운동량
또 다른 보존량을 찾아 보도록 하겠습니다. 고전역학에서
와 같이 주어집니다. 삼각함수 법칙
를 이용하면,
와 같이 시간에 무관한 양, 즉 위
또한,
는 보존되는 값 입니다.
앞에서 각 운동량을
를 얻습니다. 이 식을 하나의 식으로 축약하여 쓰면
이 됩니다. 어디서 많이 본 식인데요, 바로 양자역학에서 각 운동량 연산자의 교환 관계식 입니다! 서로 무관해 보이던
이 됩니다. 이 역시 좌변을 직접 계산하면, 우변과 같음을 알 수 있습니다.
각 운동량 연산자의 고유값을 이용하여 우리 문제의 고유값을 구할 수 있는데요, 바로 위 식에서 좌변의 고유 벡터는
를 얻습니다. 위 식을
를 얻게 됩니다. 주어진 각 운동량
이 문제를 푸는 보통의 방법은
(1) 1차원 문제를 우선 푼다. 1차원 미분 방정식을 그대로 풀어도 되고,
(2) 2차원 문제는 1차원 문제 두 개의 합이기 때문에 (1)의 결과를 이용한다
입니다. 그러나 이번에는
(1) 시스템의 보존량을 찾는다
(2) 보존량 끼리의 관계식을 구하고, 보존량으로 해밀토니안을 기술한다
와 같은 방식으로 문제를 풀었습니다. 이 문제에서 보존량
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