[고전역학-10] 해밀턴 역학 : 시간에 무관한 해밀턴-야코비 방정식, 기하학적인 의미, 입자의 운동을 파동 처럼 생각하기

이번 포스팅에서는 해밀턴-아코비 방정식을 이용하여 입자의 역학을 파동의 역학처럼 생각할 수 있음을 알아 보도록 하겠습니다. 입자와 파동은 완전히 다른 물리량인데 해밀턴-야코비 방정식을 통해서 어렴풋이나마 이 둘을 연결 시켜 보도록 하겠습니다. 

 

시간에 무관한 해밀턴-야코비 방정식

 

지난 포스팅에서 소개한 해밀턴-야코비 방정식의 형태는 아래와 같습니다. 

 

$$H\Big(q, \frac{\partial F}{\partial q}, t \Big) + \frac{\partial F}{\partial t} = 0$$

 

해밀토니안 $H$가 시간에 무관한 경우, 위 식이 좌변의 첫번째 항 $H\Big(q, \frac{\partial F}{\partial q} \Big)$은 공간좌표 $q$에 대한 함수이고, 두 번째항 $\frac{\partial F}{\partial t}$은 시간에 대한 함수 입니다. 따라서 위 식이 성립하기 위해서는 각 항은 반드시 상수항이 되어야 하고, 식을 다시 쓰면

 

$$H\Big(q, \frac{\partial F}{\partial q}, t \Big) = E$$

$$\frac{\partial F}{\partial t} = -E$$

 

라고 할 수 있습니다. 두 번째 식은 바로 적분이 가능한데, $F(q, t) = F(q) - Et$가 됩니다. 보통 $F(q)$를 쓸 때 $F$로 쓰기 보다는 $S$로 쓰는 경우가 많습니다. 따라서 $F(q,t) = S(q) - Et$라고 쓸 수 있고, 첫 번째 식을 $S(q)$의 식으로 바꾸어 쓰면, 

 

$$H\Big(q, \frac{\partial S}{\partial q}\Big) = E$$

 

가 됩니다. 여기서 $S(q)$를 해밀턴 특성함수(Hamilton's characteristic function)이라고 합니다. 지난 포스팅에서는 $S(q)$를 $W(q)$라고 쓰기도 했는데, 이곳 저곳에서 볼 때, $S(q)$라고 쓰는 경우가 조금 더 많은 것 같습니다. 이 포스팅에서도 계속해서 $S(q)$라고 쓰도록 하겠습니다. 또한, 원래 해밀턴-야코비 방정식은 이 포스팅의 첫 번째 식과 같이 공간 변수 $q$와 시간 변수 $t$가 모두 있는 미분방정식을 뜻하지만, 이 부분 부터는 편의상 바로 위에 있는 해밀턴 특성함수에 대한 미분방정식을 해밀턴-야코비 방정식으로 부르도록 하겠습니다. 

 

지난 포스팅에서는 단조화진동자에 대해서 해밀턴-야코비 방정식을 풀어봤습니다. 단순히 풀기만 하고 해 $S(q)$의 물리적인(기하학적인) 의미에 대해서는 알아보지 않았습니다. 이번 포스팅에서는 단순히 위 방정식을 푸는데 그치지 않고, 위 방정식이 해 $S(q)$를 어떻게 해석해야하는지, 그리고 이 해로 부터 어떻게 단일 입자의 시간에 따른 궤적을 얻어 낼 수 있는지에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

자유입자에 대해 풀기

 

가장 단순한 경우는 자유입자 입니다. 자유도는 1차원으로 제한하고 $q$로 쓰도록 하겠습니다. 자유입자의 경우 해밀토니안은 $H = \frac{p^2}{2m}$와 같이 주어집니다. 따라서, 이 경우의 해밀턴 야코비 방정식은 

 

$$\frac{1}{2m} \Big(\frac{\partial S}{\partial q} \Big)^2 = E$$

 

가 되고, 정리하면

 

$$\frac{\partial S}{\partial q} = \sqrt{2mE}$$

 

가 됩니다. 따라서 최종해는 $S(q) = \sqrt{2mE} \cdot q$가 됩니다. 당연히 $S(q) + \text{Const.}$ 가 일반적인 해의 형태이지만 편의상 상수항은 $0$이라고 두겠습니다. 이로 부터 운동량 $p$는 $p = \frac{\partial S}{\partial q} = \pm\sqrt{2mE}$를 얻습니다.

 

지난 포스팅에서 이미 자세히 설명한 바 있는데, 뉴턴역학이나 라그랑주역학에서 최종적으로 풀게 되는 미분방정식은 시간에 따른 입자의 위치 함수 $q(t)$에 대한 2계미분방정식입니다. 그러나, 해밀턴-야코비 방정식에서 $q$는 입자의 위치가 아니라 일반적인 공간 상에서 한 점을 기술하는 Field Point입니다. 최종적인 목표는 시간에 따른 입자의 위치 함수 $q(t)$를 구하는 것이지만, 그 과정에서는 Field 혹은 공가 전체에 정의된 함수인 $S(q)$를 구하게 됩니다. 

 

자유입자의 $S(q) = \sqrt{2mE} \cdot q$를 그래프로 그려보면, 

 

와 같습니다. 1차원상의 전 공간에서 기울기는 $\sqrt{2mE}$로 일정한데, 이는 해밀토니안에 포텐셜 항이 없기 때문입니다. 뉴턴역학의 개념으로 설명한다면 입자에 가해지는 외력이 없기 때문입니다. 

 

공간 차원이 1차원인 경우는 너무 자명해서 별다른게 없고, 공간 차원이 2차원인 경우이 문제를 풀어 보도록 하겠습니다. 변수 분리의 방법으로 풀면 쉽게 해를 찾을 수 있는데, 2차원 공간 좌표를 $(x,y)$로 쓰도록 하겠습니다, $S(x, y) = \sqrt{2mE_x} \cdot x + \sqrt{2mE_y} \cdot y$ 가 됩니다. 여기서 $E_x = \frac{1}{2m}p_x^2, E_y = \frac{1}{2m}p_y^2$ 로 각 좌표 성분의 운동 에너지 값이 됩니다. 

 

위 $S(x,y)$의 등곡선(isosurface)를 그리면 위 그래프의 하늘색 점선과 같습니다. 해밀턴-야코비 방정식을 통해서 얻은 해는 $S(x,y)$인데, 2차원 상에서는 등고선을 그리면 물리적 의미를 가장 쉽게 파악할 수 있습니다. 운동량은 $\nabla S$로 주어지는데, $\nabla S$의 방향은 $S$의 등고선과 수직이라는 것을 이용하면 위와 같이 $\nabla S = \vec{p} = (p_x, p_y)$의 방향을 쉽게 알 수 있습니다.

 

뉴턴 역학(혹은 라그랑주 역학) 에서는 시간에 따른 입자의 위치를 구합니다. 이는 위 그래프에서 빨간색으로 표시한 화살표와 같습니다. 초기 운동량 $(p_x, p_y)$ 주어졌다면, $x(t) = (x, y) = (\frac{p_x}{m}t, \frac{p_y}{m}t) + (x_0, y_0)$의 형태로 주어집니다. 입자의 초기 위치가 주어지지 않는다면, 위 그림에서 처럼 $(p_x, p_y)$ 방향을 가리키고 있는 붉은색 선이 $x(t)$가 될 것 입니다. 위 그림에서는 3개 밖에 그리지 않았지만, $(p_x, p_y)$ 방향의 모든 벡터가 $x(t)$의 후보가 됩니다. 추가적으로 입자의 초기 위치 $(x_0, y_0)$가 주어진다면, 위 많은 해의 후보 중에서 하나의 해가 결정이 되게 됩니다. 

 

해밀턴-야코비 방정식에서는, 위에서 문제를 직접 풀어 본 바와 같이, $S(x,y)$를 구하게 됩니다. $S(x,y)$에서 $(x,y)$는 시간에 따른 입자의 위치 $x(t), y(t)$가 아니라 공간상의 점을 표시하는 $parameter$입니다. 입자의 위치를 구하는 것이 목표이지만, 그 과정에서 구하게 되는 해인 $S(x,y)$는 공간상의 모든 점에서 정의 돼 있는 일종의 장(Field)와 같은 것 입니다. 이 장(Field)의 기울기(Gradient) 방향이 입자의 운동량 방향이 됩니다. $S$의 등고선은 마지 파동의 파면(Wave Front)를 그린 것과 유사합니다. 파동의 진행 방향이 $\nabla S$의 방향이라고 한다면, 파동의 위상의 등고선은 위 그림과 같이 주어집니다. 따라서 실제 입자의 움직임을 파속(wave packet)의 움직임이라고도 유추할 수 있습니다. 

 

시간항까지 고려한 해밀턴-야코비 방정식의 해 $F(q,t) = S(q) - Et$를 생각하면, 일차원 자유입자 문제의 경우, 

$$F(x,t) = \sqrt{2mE} \cdot x - Et = p \cdot x - Et$$

가 되가 됩니다. 이는 정확히 파동을 기술할 때 위상 $\theta = kx - \omega t$와 형태가 같습니다. $F$의 등곡선은 $F(x,t) = p \cdot x - Et = 0$이고, 이로부터 $x = \frac{1}{2}vt$를 얻습니다. $frac{1}{2}$가 있는 것이 조금은 찜찜하긴 하지만, $x$가 $t$에 비례하는 1차원 자유입자의 경우와 같은 관계식을 얻습니다.